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[[File:角平分线长.svg|thumb|三角形的内、外角平分线|250px]]
在[[平面几何]]中，'''角平分線長公式'''是計算[[三角形]]內、外[[角平分線]]長度的公式。在三角形 <math>\triangle{ABC}</math> 中，<math>\angle A</math> 的内角平分線交对边 <math>BC</math> 于点 <math>D</math> ，外角平分線交直线 <math>BC</math> 于点 <math>E</math> ，则三角形的内、外角平分線的长度为：
:<math>AD=\sqrt{AB \cdot AC - DB \cdot DC}</math>
:<math>AE=\sqrt{EB \cdot EC - AB \cdot AC}</math>

若记 <math>BC</math> 边长为 <math>a</math> ，<math>AC</math> 边长为 <math>b</math> ，<math>AB</math> 边长为 <math>c</math> ，记内角平分線 <math>AD</math> 长为 <math>t_a</math> ，外角平分線 <math>AE</math> 长为 <math>t_a'</math> ，则三角形的内、外角平分線的长度可以表示为：

{{col-begin|width=80%}}
|-
| 
:<math>t_a=\sqrt{bc (1-{a^2 \over (b+c)^2})}</math>
::<math>={bc \over b+c} \sqrt{2+2\cos A}</math>
::<math>={2bc \over b+c}\cdot \cos{A \over 2}</math>
|
:<math>t_a'=\sqrt{bc ({a^2 \over (b-c)^2}-1)}</math>
::<math>={bc \over |b-c|} \sqrt{2-2\cos A}</math>
::<math>={2bc \over |b-c|}\cdot \sin{A \over 2}</math>
|}

== 证明 == 
[[File:角平分线长公式.svg|thumb|300px|三角形ABC以及關於角A的平分線]]
===内角平分线长===
作 <math>\angle A</math> 的内角平分線交对边 <math>BC</math> 于点 <math>D</math> 。延长 <math>\overline {AD}</math> 至点 <math>E</math> ，使 <math>\angle AEB = \angle ACD</math> 。
:<math>\triangle AEB \sim \triangle ACD \Rightarrow AE\cdot AD=AB\cdot AC</math>
:<math>\triangle DEB \sim \triangle DCA \Rightarrow DE\cdot AD=BD\cdot DC</math>
:<math>AD^2=(AE-DE)\cdot AD=AE\cdot AD-DE\cdot AD=AB\cdot AC-DB\cdot DC</math>
得内角平分线长公式（i）：<ref name=SJB/><ref name=perepelkin/><ref name=amarasinghe>{{cite journal|last=Amarasinghe|first=G. W. I. S.|title=On the standard lengths of angle bisectors and the angle bisector theorem|journal=''Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries''|volume=1|issue=1|year=2012|page=15-27|language=en|url=http://www.geometry-math-journal.ro/pdf/Volume1-Issue1/ON%20THE%20STANDARD%20LENGTHS%20OF%20ANGLE%20BISECTORS%20AND%20THE%20ANGLE%20BISECTOR%20THEOREM.pdf|access-date=2023-06-24|archive-date=2022-06-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20220618015305/http://geometry-math-journal.ro/pdf/Volume1-Issue1/ON%20THE%20STANDARD%20LENGTHS%20OF%20ANGLE%20BISECTORS%20AND%20THE%20ANGLE%20BISECTOR%20THEOREM.pdf|dead-url=no}}</ref>
:<math>AD=\sqrt{AB \cdot AC - DB \cdot DC}</math>
===外角平分线长===
作 <math>\angle A</math> 的外角平分線交直线 <math>BC</math> 于点 <math>D'</math> 。延长 <math>\overline {D'A}</math> 至点 <math>E'</math> ，使 <math>\angle AE'B = \angle ACD'</math> 。
:<math>\triangle AE'B \sim \triangle ACD' \Rightarrow AE'\cdot AD'=AB\cdot AC</math>
:<math>\triangle D'E'B \sim \triangle D'CA \Rightarrow D'E'\cdot AD'=BD'\cdot D'C</math>
:<math>AD'^2=(D'E'-AE')\cdot AD'=D'E'\cdot AD'-AE'\cdot AD'=D'B\cdot D'C-AB\cdot AC</math>
得外角平分线长公式（i）：<ref name=perepelkin/>
:<math>AD'=\sqrt{D'B \cdot D'C - AB \cdot AC}</math>
===推导===
根据[[角平分线定理]]，有：<ref name=heath>{{cite book|last=Heath|first=Thomas L.|author-link=托马斯·希思|title=''The Thirteen Books of Euclid's Elements''|url=https://classicalliberalarts.com/resources/EUCLID_ENGLISH_2.pdf|volume=II|year=1908|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|page=197|language=en|access-date=2023-06-24|archive-date=2022-02-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20220202052105/https://classicalliberalarts.com/resources/EUCLID_ENGLISH_2.pdf|dead-url=no}}</ref>
{{col-begin|width=81%}}
|-
| 
:<math>DB = {ac \over b+c}, \ DC = {ab \over b+c}</math>
|
:<math>D'B = {ac \over |b-c|}, \ D'C = {ab \over |b-c|}</math>
|}

代入式（i），得到角平分线长公式（ii）：<ref name=hadamard/><ref name=amarasinghe/>
{{col-begin|width=78%}}
|-
| 
:<math>t_a=\sqrt{bc (1-{a^2 \over (b+c)^2})}</math>
|
:<math>t_a'=\sqrt{bc ({a^2 \over (b-c)^2}-1)}</math>
|}

将[[余弦公式]]代入式（ii），得到角平分线长公式（iii）：
{{col-begin|width=80%}}
|-
| 
:<math>t_a={bc \over b+c} \sqrt{2+2\cos A}</math>
|
:<math>t_a'={bc \over |b-c|} \sqrt{2-2\cos A}</math>
|}

将[[半角公式]]代入式（iii），得到角平分线长公式（iv）：<ref>{{cite web|title=The angle bisector. Formula 2|url=https://mathvox.com/geometry/triangles/chapter-8-the-angle-bisector-of-a-triangle/the-angle-bisector-formula-2/|website=mathvox.com|language=en|access-date=2023-06-24|archive-date=2023-06-17|archive-url=https://web.archive.org/web/20230617065847/https://mathvox.com/geometry/triangles/chapter-8-the-angle-bisector-of-a-triangle/the-angle-bisector-formula-2/|dead-url=no}}</ref>

{{col-begin|width=80%}}
|-
| 
:<math>t_a={2bc \over b+c}\cdot \cos{A \over 2}</math>
|
:<math>t_a'={2bc \over |b-c|}\cdot \sin{A \over 2}</math>
|}

==与其他定理的关系==
===斯图尔特定理===
角平分线长公式是[[斯图尔特定理]]的特殊情况，或者说推论。根据斯图尔特定理，对于三角形 <math>\triangle{ABC}</math> 的任意一边 <math>BC</math> 上的任意一点 <math>D</math> ，有：
:<math>AD^2 = AB^2 \cdot {DC \over BC} + AC^2 \cdot {DB \over BC} - DB \cdot DC</math>
当点 <math>D</math> 是内角平分线足时，根据[[角平分线定理]]，有：
:<math>{AB \over DB} = {AC \over DC} ={AB+AC \over BC}</math>
联立之后，即可得到内角平分线长公式（i）或（ii）。同理，可以推出外角平分线长公式（i）或（ii）。<ref name=hadamard>{{cite book|first=Jacques|last=Hadamard|author-link=雅克·阿达马|script-title=fr:''Leçons de géométrie élémentaire (géométrie plane)''|location=Paris|publisher=Armand Colin et Cie|year=1898|page=122-125|language=fr}}</ref><ref name=perepelkin>{{cite book|author={{link-ru|德米特里·伊万诺维奇·别列标尔金|Перепёлкин, Дмитрий Иванович|别列标尔金}}|others=马忠林 (译)|title=初等几何学教程 上卷|location=北京|publisher=高等教育出版社|year=1955|page=202-204}}</ref>

===施泰纳-莱穆斯定理===
利用角平分線長公式，可以证明[[施泰纳-莱穆斯定理]]——有两条内角平分线长度相等的三角形是[[等腰三角形]]。<ref name=trigg>{{cite book|title=''Mathematical Quickies''|url=https://archive.org/details/mathematicalquic0000trig|first=Charles W.|last=Trigg|publisher=Dover Publications|location=New York|date=1985|orig-year=1967|isbn=0-486-24949-2|page=[https://archive.org/details/mathematicalquic0000trig/page/103 103]|language=en}}</ref>
:<math>t_a=t_b \ \,\Rightarrow\ \,\sqrt{bc (1-{a^2 \over (b+c)^2})}=\sqrt{ac (1-{b^2 \over (a+c)^2})}</math>
化简后得到： <math>c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^2+ab)+3abc+c^3]=0</math>

连乘的其他各项都为正数，从而推出： <math>a-b=0</math>

== 名称 ==
在欧美，角平分線長公式没有特殊的名称。<ref name=hadamard/><ref name=perepelkin/><ref name=trigg/>在中国大陆，有文獻將内角平分線長公式（i）称为“斯库顿定理”，乃是以[[荷兰]]数学家{{le|弗兰斯·范斯霍滕|Frans van Schooten}}命名。<ref name=SJB>{{cite journal|last=孙建斌|title=Schooten定理的证明|journal=数学教学研究|issue=1|year=1986|page=3-6}}</ref><ref>{{cite journal|last=刘运谊|title=斯库顿定理及其应用|journal=数学教学通讯|issue=6|year=1994|page=12+39}}</ref><ref>{{cite book|author1=黄家礼|title=几何明珠|location=北京|publisher=科学普及出版社|year=1997|page=78|isbn=7-110-03511-5}}</ref>而在欧美，{{le|范斯霍滕定理|Van Schooten's theorem}}指的是[[等边三角形]]外接圆的一个性质，与三角形角平分线无关。<ref>{{cite journal|first=Viglione|last=Raymond|title=Proof Without Words: van Schooten's Theorem|journal=''Mathematics Magazine''|volume=89|issue=2|year=2016|page=132|language=en}}</ref>

== 參見 ==
*[[中線長公式]]
*[[角平分線定理]]

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:三角学]]
[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理]]
[[Category:数学公式]]