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{{NoteTA
|G1=Physics
|G2=Astronomy
}}
一個光學儀器的'''角分辨度'''（英文：angular resolution），指儀器能夠分辨遠處兩件細小物件下，它們所形成的最小夾角。角分辨度是光學儀器解像能力的量度，角分辨度愈小，解像能力愈高。角分辨度常以'''瑞利判據'''（英文：Rayleigh criterion）作為標準，最早由物理學家[[約翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵|瑞利]]於1879年提出。<ref name=rayleigy1879>{{cite journal
 |last=Lord Rayleigh
 |first=F.R.S.
 |date=1879
 |title=Investigations in optics, with special reference to the spectroscope
 |journal=[[Philosophical Magazine]]
 |series=5
 |volume=8
 |issue=49
 |pages=261–274
 |bibcode=
 |doi=10.1080/14786447908639684
 |url=https://zenodo.org/record/1431143/files/article.pdf
 |access-date=2019-12-12
 |archive-date=2020-12-05
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201205031813/https://zenodo.org/record/1431143/files/article.pdf
 |dead-url=no
 }}</ref>

對於單縫繞射的情況，瑞利判據給出的條件是：

:<math>\theta_{\mathrm{min}} = \frac{\lambda}{a}</math> ；

對於圓孔繞射的情況，瑞利判據給出的條件是：

:<math>\theta_{\mathrm{min}} = \frac{1.220\lambda}{a}</math> ，

其中 {{math|''λ''}} 是光線的[[波長]]，{{math|''a''}} 是光學儀器孔隙的闊度。

==解像能力與角分辨度==

[[File:Rayleigh criterion plot.png|thumb|right|400px|瑞利判據：兩個相等強度的點光源，其中一個的中央極大值，剛好落在另一個的第一極小值。]]

解像能力，是一個光學儀器，比如望遠鏡、照相機、甚至肉眼，分辨遠處兩件細小物件的能力。當兩個物件的光線，通過光學儀器的孔隙，則會發生[[繞射]]，形成[[艾里斑]]，因而互相重疊。當兩件物件相距太近，影像重疊太多，兩個影像便無法分辨。角分辨度 {{math|''θ''<sub>min</sub>}}，就是當兩件物件剛好能夠分辨時，它們與孔隙所形成的夾角。

兩個影像能否分辨，常以瑞利判據作為標準：兩個相等強度的點光源，其中一個的中央極大值，剛好落在另一個的第一極小值，則稱它們剛好能夠分辨。<ref>
{{cite book
 |last=Born |first=M. |authorlink=Max Born
 |last2=Wolf |first2=E. |author2link=Emil Wolf
 |date=1999
 |title=Principles of Optics
 |url=https://archive.org/details/principlesoptics00born_481 |page=[https://archive.org/details/principlesoptics00born_481/page/n496 461]
 |publisher=[[Cambridge University Press]]
 |isbn=0-521-64222-1
}}</ref>若它們的距離再遠一點，就是能夠分辨；再近一點，則無法分辨。

兩件物件間的實際距離，稱為空間分辨度 {{math|''s''}}。設物件和孔隙的距離為 {{math|''r''}}。當角分辨度足夠小，運用小角度近似 {{math|sin ''θ'' ≈ ''θ''}} ，以及[[弧度]]定義 <math>\theta = \frac{s}{r}</math> ，可知空間分辨度為

:<math>s \approx r\theta_{\mathrm{min}}</math> ，

其中角分辨度 {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 必須以弧度作單位。其倒數

:<math>R = \frac {1} {\theta_\mathrm{min}}</math>

又稱為'''鑑別率'''（{{lang|en|resolving power}}）。

==單縫繞射==

當[[波長]]為 {{math|''λ''}} 的光線，經過一條闊度為 {{math|''a''}} 的長形單縫，繞射的[[輻照度|光強]] {{math|''I''}} 於[[角位移]] {{math|''θ''}} 的分佈可寫成：

:<math>I( \theta ) = I_0 \left[ \frac{ \sin \left( \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} \right) }{\frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}} \right]^2</math> 。


設 <math>I( \theta ) =0 </math>，可得第一個[[零點]] {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 發生在：

:<math>\frac{\pi a \sin \theta_{\mathrm{min}}}{\lambda}= \pi</math> 。

經簡化後，得 <math> \sin \theta_{\mathrm{min}} = \frac{\lambda}{a}</math>。


由於 {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 一般很小，運用小角度近似 {{math|sin ''θ'' ≈ ''θ''}} ，得到單縫繞射的瑞利判據是：

:<math>\theta_{\mathrm{min}} = \frac{\lambda}{a}</math> ，

其中 {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 以[[弧度]]作單位。


若物件和單縫的距離為 {{math|''r''}} ，則知空間分辨度 {{math|''s''}} 為

:<math>s=\frac{\lambda r}{a}</math> 。


從上面可見，單縫繞射的角分辨度與光線波長成正比，與單縫闊度成反比。

==圓孔繞射==

當[[波長]]為 {{math|''λ''}} 的光線，經過一條直徑為 {{math|''a''}} 的圓孔，繞射的[[輻照度|光強]] {{math|''I''}} 於[[角位移]] {{math|''θ''}} 的分佈可寫成：

:<math>I( \theta ) = I_0 \left[ \frac{ 2\operatorname{J_1} \left( \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda} \right) }{\frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}} \right]^2</math> ，

其中 <math>\operatorname{J_1}(x)</math> 是[[贝塞尔函数]]。


設 <math>I( \theta ) =0 </math>，可得第一個[[零點]] {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 發生在：

:<math>\frac{\pi a \sin \theta_{\mathrm{min}}}{\lambda}=3.8317</math> 。

經簡化後，得 <math> \sin \theta_{\mathrm{min}} = \frac{1.220\lambda}{a}</math>。


由於 {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 一般很小，運用小角度近似 {{math|sin ''θ'' ≈ ''θ''}} ，得到圓孔繞射的瑞利判據是：

:<math>\theta_{\mathrm{min}} = \frac{1.220\lambda}{a}</math> ，

其中 {{math|''θ''<sub>min</sub>}} 以[[弧度]]作單位。


若物件和圓孔的距離為 {{math|''r''}} ，則知空間分辨度 {{math|''s''}} 為

:<math>s=\frac{1.220\lambda r}{a}</math> 。


從上面可見，圓孔繞射的角分辨度與光線波長成正比，與圓孔直徑成反比。

==視力==

一般人的虹膜直徑約為 5 mm，肉眼對波長約 555 nm 的光最敏感，代入瑞利判據可以得：

:<math>\theta_{\mathrm{min}} =  \frac{(1.220)(555 \times 10^{-9})} { 5 \times 10^{-3}} = 0.000135 \; \mathrm{rad}</math>

在眼科醫生或配眼鏡時所用的{{le|斯內倫視力表|snellen chart}}，一般正常的肉眼[[視力]]，至少應在 6 m 的距離看到 8.8 mm 的圖像。
:<math>\theta \approx \frac{8.8 \times 10^{-3}} {6}  =  0.00147 \; \mathrm{rad}</math>

根據研究，大部分人的肉眼，角分辨度的極限是 0.0005 rad。在最理想的條件下，甚至可達 0.0002 rad。<ref>Ackerman, Eugene, Biophysical Science, Prentice-Hall, 1962. Considerable material on vision from a medical point of view.</ref>由此可見，人類肉眼的分辨極限，相當接近瑞利判據。

== 參考 ==
[[Category:光學]]