查看“︁角”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-hans:欧几里得; zh-hant:歐幾里得;
}}
{{ Otheruses|subject=数学名词角|角 (消歧义) }}
[[Image:Angle Symbol.svg|thumb|right|[[Unicode]]中的角符號，碼位為[[XML与HTML字符实体引用列表|U+2220]]|228x228px]]

在[[几何学]]中，'''{{zy|角|jiǎo|ㄐㄧㄠˇ}}'''（{{lang-en|angle}}）或精确用语'''平面角'''，是由两条有公共端点的[[射线]]组成的几何对象。这两条射线叫做角的[[邊 (幾何)|边]]，它们的公共端点叫做角的[[頂點 (幾何)|顶点]]。一般的角會假設在[[欧几里得平面]]上，但在[[非欧几里得几何]]中也可以定義角，特別是在[[球面幾何學]]中的{{link-en|球面角|spherical angle}}是用[[大圓]]的圓弧代替射线。角在[[几何学]]和[[三角学]]中有着广泛的应用。

几何之父[[欧几里得]]曾定义角为在[[平面 (数学)|平面]]中两条不[[平行]]的[[直线]]的相对斜度。[[普罗克鲁斯]]認為角可能是一種特質、一種可量化的量、或是一種關係。{{link-en|歐德謨|Eudemus}}認為角是相對一[[直線]]的偏差，{{link-en|安提阿的卡布斯|Carpus of Antioch}}認為角是二條相交直線之間的空間。欧几里得認為角是一種關係，不過他對直角、銳角或鈍角的定義都是量化的<ref>{{cite book |ref=harv |first=Johan Ludvig |last=Heiberg |year=1908 |title=Euclid |editor-first=T. L. |editor-last=Heath |editor-link=T. L. Heath |series=The thirteen books of Euclid's Elements |volume=1 |publisher=Cambridge University press |url=http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ |pages=177–178 |access-date=2012-08-24 |archive-date=2011-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110730065641/http://books.google.com/books?id=UhgPAAAAIAAJ |dead-url=no }}</ref>。

平面角大小的[[计量单位制]]常用的有[[度 (角)|360度制]]、[[弧度|弧度制]]等<ref>https://terms.naer.edu.tw/detail/b079b1a2250d7cff36338922ce22c5cd/</ref><ref>{{Cite GB|id =3102.1 |title =空间和时间的量和单位 |year =1993 |previous =1986 |promulgate_date =1993-12-27 |effective_date =1994-07-01 }}</ref>。

== 表示方法 ==
角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。图中的角用∠AOB或<math>\widehat{AOB}</math>表示。但若在不會產生混淆的情形下，也會直接用顶点的字母表示，例如角<math>\angle O</math>。

在數學式中，一般會用[[希臘字母]]（<math>\alpha,\beta,\gamma,\theta,\varphi,...</math>）表示角的大小。為避免混淆，符號[[Pi|π]]一般不用來表示角度。

== 角的測量 ==
=== 常見测量单位 ===
以角的端点为[[圆|圆心]]做[[圆弧]]。由于圆弧的[[半径]]和弧长成[[正比]]，而角是长度的[[比例]]，所以圆的大小不会影响角的测量。

* '''[[角度]]'''：由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果，一般用°来标记，读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。[[角度]]在[[天文学]]和[[全球定位系统]]中有重要应用。

* '''[[弧度]]'''：用角在圆上所切出的[[弧|圆弧]]的长度除以圆的半径，單位是rad（中文名：弳）。弧度在[[数学]]中有广泛的应用。[[弧度]]還是[[国际单位制]]中规定的角的標準度量，但却不是中国法定计量单位，[[角度]]则是角在中国的法定计量单位。

:採用弧度時，通常不會標示單位，例如：<math>\sin \pi = \sin 180^\circ = 0</math>

* '''[[百分度]]'''：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。

=== 其他测量单位 ===
角度的量測可以視為弧長<math>s</math>和半徑<math>r</math>的比例，再依選用單位乘以一比例係數<math>\frac{2\pi}{n}</math>。

:<math> \theta = \frac{n}{2\pi} \frac{s}{r} </math>

例如以上的弧度、角度和百分度，其轉換係數<var><math>n</math></var>分別為<math>2\pi</math>、360和400。

以下是一些其他的测量单位，對應不同的<math>n</math>值。
*圈數或[[轉_(角)|轉數]]（<math>n=1</math>）：是指完整旋轉一圈，依應用的不同，會簡寫為''cyc''、''rev''或''rot''，不過在[[每分鐘轉速]]（RPM）的單位中，只用一個字母r表示。
*[[直角]]（<math>n=4</math>）：是<math>\frac{1}{4}</math>圈，是[[幾何原本]]中用的角度單位，直角<math>=90^\circ=\frac{\pi}{2}\mathrm{rad}=\frac{1}{4}\mathrm{turn}=100\mathrm{grad}</math>。在德文中曾用<math>\llcorner</math>表示直角。
*[[時角]]（<math>n=24</math>）：）常用在[[天文學]]中，是<math>\frac{1}{24}</math>圈。此系統是用在一天一個週期的循環（例如星星的相對位置），其六十進制下的子單位稱為「時間分角」及「時間秒角」，這兩個單位和角度的[[角分]]及[[角秒]]不同，前者大小為後者的十五倍。1時角<math>=15^\circ=\frac{\pi}{12}\mathrm{rad}=\frac{1}{6}\mathrm{quad}=\frac{1}{24}\mathrm{turn}\approx16.667\mathrm{grad}</math>。
*[[毫弧度|密位]]（<math>n=6000\sim 6400</math>）：此單位是指一個單位大約等於毫[[弧度]]的角度，有許多不同的定義，其數值從0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度約為0.05729578度（3.43775角分）。在[[北大西洋公約組織]]的國家中，密位定義為圓的<math>\frac{1}{6400}</math>。其數值大約等於一個角度的弧長為一公尺，其半徑為一公里的角度（<math>\frac{2\pi}{6400}=0.0009817...\doteqdot \frac{1}{1000}</math>）。瑞典歷史上以圓周爲6300密位（最接近），但在2007年同北約一致。
*[[角分]]（<math>n=21600</math>）：定義為一度的<math>\frac{1}{60}</math>，是<math>\frac{1}{21600}</math>圈，會用&nbsp;′&nbsp;表示，例如3°&nbsp;30′ 等於<math>3+\frac{30}{60}</math>度，也就是3.5度，有時也會出現小數，例如<math>3^\circ 5.72'=3+\frac{5.72}{60}</math>度。[[海里]]曾定義為在地球的[[大圓]]上一角分的弧長。
*[[角秒]] （<math>n=1296000</math>）：定義為一角分的<math>\frac{1}{60}</math>，會用&nbsp;″&nbsp;表示，例如3°&nbsp;7′&nbsp;30″等於<math>3+\frac{7}{60}+\frac{30}{3600}</math>度，或是3.125&nbsp;度。

=== 正角和負角 ===
以上角的定義均未考慮數值為負的角。不過在一些應用時，會將角的數值加上正負號，以標明是相對參考物不同方向的旋轉。

在二維的[[笛卡兒坐標系]]中，角一般是以x軸的正向為基準，若往y軸的正向旋轉，則其角為正角，若往y軸的負向旋轉，則其角為負角。若二維的笛卡兒坐標系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時針的旋轉對應正角，[[順時針]]的旋轉對應負角。

一般而言，<math>-\theta</math>角和一圈減去<math>\theta</math>所得的角等效。例如<math>-45^\circ</math>和<math>360^\circ -45^\circ (=315^\circ)</math>等效，但這只適用在用角表示相對位置，不是旋轉概念時。旋轉<math>-45^\circ</math>和旋轉315°是不同的。

在三維的幾何中，順時針及逆時針沒有絕對的定義，因此定義正角及負角時均需列出其參考的基準，一般會以一個通過角的頂點，和角所在平面垂直的[[向量]]為基準。

在[[導航]]時，[[導向]]是以北方為基準，正向表示順時針，因此導向45°對應東北方。導向沒有負值，西北方對應的導向為315°。

===其他量測角大小的方法===
除了量測角本身的大小外．也有其他的方式，可以量測角的大小。

[[坡度]]等於一個角的正切值，常用百分比或千分比來表示。當一個角的坡度小於5%時，其坡度近似於角以弧度表示的數值。

在{{link-en|有理幾何學|rational geometry}}中，一個角的大小是以伸展度（spread）來表示，伸展度定義為角對應正弦的平方，而任一角正弦的平方和該角補角正弦的平方相等。因此任一角和其補角在有理幾何學中是等同的。

== 角的种类 ==
=== 個別的角 ===
; 零角
: 角度等於0°，或弧度為0的角。
; 锐角
: 角度大于0°且小于90°，或弧度大于0且小于<math>\frac{\pi}{2}</math>的角。
; 直角
: 角度等於90°，或弧度为<math>\frac{\pi}{2}</math>的角。
; 钝角
: 角度大于90°且小于180°，或弧度大于<math>\frac{\pi}{2}</math>且小于<math>\pi</math>的角。
; 平角
: 角度等於180°，或弧度为<math>\pi</math>的角。
; 優角或反角
: 角度大於180°且小於360°，或弧度大於<math>\pi</math>且小於<math>2\pi</math>的角。
; 周角
: 角度等於360°，或弧度為<math>2\pi</math>的角。

<gallery>
File:Right angle.svg|直角
File:Reflex angle.svg|優角（或作反角）
File:Full angle.svg|周角
File:Angle obtuse acute straight.svg|銳角（<var>a</var>）、鈍角（<var>b</var>）和平角（<var>c</var>）

</gallery>

以下是各角度的名稱及不同單位下的數值：
{|class = wikitable style="text-align:center;"
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''名稱'''&nbsp;&nbsp;
|style = "width:3em;" | 零角
|style = "width:3em;" | 銳角
|style = "width:3em;" | 直角
|style = "width:3em;" | 鈍角
|style = "width:3em;" | 平角
|style = "width:3em;" | 優角
|style = "width:3em;" | 周角
|-
! 單位 !! colspan=10 | 範圍
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[轉_(角)|轉]]'''&nbsp;&nbsp; 
|style = "width:3em;" | <math>0</math>
|style = "width:3em;" | <math>(0,\frac{1}{4})</math>
|style = "width:3em;" | <math>\frac{1}{4}</math>
|style = "width:3em;" | <math>(\frac{1}{4},\frac{1}{2})</math>
|style = "width:3em;" | <math>\frac{1}{2}</math>
|style = "width:3em;" | <math>(\frac{1}{2},1)</math>
|style = "width:3em;" | <math>1</math>
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[弧度]]'''
| <math>0\pi\,</math>
| <math>(0,\frac{1}{2}\pi)</math>
| <math>\frac{1}{2}\pi</math>
| <math>(\frac{1}{2}\pi,\pi)</math>
| <math>\pi</math>
| <math>(\pi,2\pi)</math>
| <math>2\pi\,</math>
|-
|style = "background:#f2f2f2; text-align:center;" | '''[[度_(角)|度]]'''&nbsp;&nbsp; 
|style = "width:3em;" |<math>0^\circ</math>
|style = "width:3em;" |<math>(0^\circ,90^\circ)</math>
|style = "width:3em;" |<math>90^\circ</math>
|style = "width:3em;" |<math>(90^\circ,180^\circ)</math>
|style = "width:3em;" |<math>180^\circ</math>
|style = "width:3em;" |<math>(180^\circ,360^\circ)</math>
|style = "width:3em;" |<math>360^\circ</math>
|-
|}
令x為該角度數。

=== 角的組合 ===
有三種特殊角的組合，其度數和均為特殊的值：
*[[余角|餘角]]：當兩個角的度數之和等於90°，即一個[[直角]]，這兩個角便是餘角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成直角。在[[欧几里得几何]]中，非直角的兩角即互為餘角。
:若角<math>A</math>和<math>B</math>互為餘角，以下的數學式會成立：
:<math>\begin{align} \sin^2A + \sin^2B &= 1\\ \cos^2A + \cos^2B &= 1\\ \tan A &= \cot B \\ \sec A &= \csc B \end{align}.</math>
:（一角的[[正切]]等於其餘角的[[餘切]]，一角的[[正割]]等於其餘角的[[餘割]]）
:三角函數中的[[餘函數]]，其前綴「co-」就是餘角的意思。
*[[補角]]：當兩個角的度數之和等於180°，即一個[[平角]]，這兩個角便是互補角。若兩個相鄰的角互為餘角，兩個非共用邊會形成一直線。不過兩個不相鄰的角也可以是補角，例如平行四邊形中，任兩鄰角為互補角。[[圆内接四边形]]的對角也是互補角。
:若點<math>P</math>為圓<math>O</math>外的一點，而過點<math>P</math>作圓的切線，切點分別在點<math>T</math>和點<math>Q</math>，則<math>\angle TPQ</math>和<math>\angle TOQ</math>為互補角。
:兩互補角的正弦相等，其餘弦及正切（若有定義義）大小相等，但符號異號。
:在欧几里得几何中，三角形兩角的和為第三角的補角。
* explementary angles or conjugate angles. 當兩個角的度數之和等於360°

{{clr}}
{|
|- style="vertical-align: top;"
[[Image:Complement angle.svg|thumb|left|150px|互為餘角的角<var>a</var>和角<var>b</var>]]
<!--[[Image:Reflex angle.svg|thumb|right|125px|]]-->
[[Image:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|center|300px|圖中的銳角和鈍角形成一組互補角]]
|}
{{clr}}

==常用定理==
===同頂角===
[[File:Angle_at_a_pt.png|right|thumb|同頂角]]
<math>a+b+c=360^\circ</math>

===直線上的鄰角===
[[File:Adj_on_a_st_line.png|right|thumb|直線上的鄰角]]
<math>a+b+c=180^\circ</math>

===與平行線有關的定理===
[[File:parr-angles.png|left|thumb|與平行線有關的定理]]

當<math>AE</math>平行於<math>BD</math>,
*<math>a=c</math>（[[同位角]]，<math>AE//BD</math>）
*<math>b=d</math>（[[内错角|內錯角]]，<math>AE//BD</math>）
*<math>b+c=180^\circ</math>（[[同旁内角|同旁內角]]，<math>AE//BD</math>）

由角度的關係也可以推得兩直線平行
*當<math>a=c</math>，<math>AE</math>平行於<math>BD</math>（同位角相等）
*當<math>b=d</math>，<math>AE</math>平行於<math>BD</math>（內錯角相等）
*當<math>b+c=180^\circ</math>，<math>AE</math>平行於<math>BD</math>（同旁內角互補）

==二曲線的夾角==
[[Image:Curve angles.svg|thumb|right|二曲線在<math>P</math>點的夾角定義為二曲線在<math>P</math>點切線<math>A</math>和<math>B</math>的夾角]]
曲線和直線的夾角或是二曲線間的夾角定義為二曲線在交點處[[切線]]的夾角。
{{-}}
==點積及其拓展==
在[[欧几里得空间]]中，二個[[向量]]<math>\mathbf{u}</math>及<math>\mathbf{v}</math>的角和其[[點積]]及向量的長度有關：

:<math>\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \cos(\theta)\ \|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|.</math>

依上式可以用二個平面（或曲面）的[[法向量]]，計算二者之間的夾角，也可以根據二[[歪斜線]]的向量計算其夾角。

==內積==
在一個抽象的實數[[内积空间]]中，在定義角時可以用內積 <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>取代欧几里得空间的點積( '''·''' )：

:<math>\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle = \cos(\theta)\ \|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|.</math>

在複數的内积空间中，為了使餘弦的數值仍維持實數，因此需修改為

:<math>\operatorname{Re}(\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle) = \cos(\theta)\ \|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|.</math>

或者使用絕對值的標示：
:<math> |\langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| = \cos(\theta)\ \|\mathbf{u}\|\ \|\mathbf{v}\|.</math>

後者不考慮向量的方向，因此是描述由向量<math>\mathbf{u}</math>及<math>\mathbf{v}</math>所生成的二個一維[[線性子空間|子空間]]<math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math>及<math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math>之間的夾角。

==黎曼几何中的角==
在[[黎曼几何]]中，利用[[度量张量]]來定義二條[[切線]]之間的夾角，其中<math>U</math>及<math>V</math>是切線向量，<math>g_{ij}</math>是度量张量<math>G</math>的分量。

:<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}U^iV^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}U^iU^j \right| \left| g_{ij}V^iV^j \right|}}.
</math>

==地理學及天文學中的角==
以[[地理]]的觀點，地球上任何一個位置都可以用[[地理座標系統]]來表示，此系統標示位置的[[經度]]及[[緯度]]，兩者都以此點連至地球球心連線的角度來表示，經度是以[[格林威治子午線]]為參考基準，而緯度是以[[赤道]]為參考基準。

在[[天文學]]中，[[天球]]的一點可以用任何一種[[天球坐标系统]]來表示，不過其基準則因坐标系统不同而不同。天文學量測二顆星星的'''角距離'''時，會假想分別有二顆星星分別和[[地球]]連成的直線，再量測這二條直線的夾角，即為角距離。

天文學家也會用[[角直徑]]量測一物體的表觀大小。例如[[滿月]]的角直徑約為0.5°。[[小角公式]]可以將上述的角測量轉換為距離和大小的比值。

== 相關條目 ==
*[[平分線|角平分線]]
*[[辐角]]
*[[圆心角]]
*[[余角]]
*[[大圆距离]]
*[[量角器]]
*[[立體角]]
*[[補角]]
*{{link-en|無理角|Irrational rotation}}
*[[角速度]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==
*《[http://zz-www.sd.cninfo.net/song/law/mainlaw/min/lawn/n30.htm 中华人民共和国法定计量单位] {{Wayback|url=http://zz-www.sd.cninfo.net/song/law/mainlaw/min/lawn/n30.htm |date=20050323051714 }}》

{{msg:几何术语}}
{{经典力学国际单位}}
{{Authority control}}
[[Category:初等几何]]
[[Category:几何术语]]
[[Category:三角学]]
[[Category:角|*]]