查看“︁规范形”︁的源代码

[[File:Anagram canonical svg.svg|thumb|以[[多重集]]为规范形进行算法[[易位构词游戏]]测试：以[[C语言]]数组形式给出字符串“<samp>madam curie</samp>”“<samp>radium came</samp>”。通过排序，将每个字符串窜转为规范形。由于两个字符串排序后完全相同，因此原字符串实为彼此的变形。]]
[[数学]]和[[计算机科学]]中，[[数学对象]]的'''标准形'''、'''规范形'''是将该对象作为[[表达式]]呈现的标准方式。通常来说，它提供了对象的最简单的表示，并允许以独特的方式识别。“规范（canonical）”与“标准（normal）”的区别因领域而异，大多数时候规范形都规定了对象的唯一表示形式，而标准形则不要求唯一性。<ref>有时“规范”与“标准”可以互换，如若尔当规范形与若尔当标准形（见[https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.jordan.html MathWorks上的若尔当标准形] {{Wayback|url=https://www.mathworks.com/help/symbolic/sym.jordan.html |date=20230528193355 }}）。</ref>

用[[小数]]表示，[[自然数]]的规范形是不以0开头的有限数字序列。更一般地说，对于定义了[[等价关系]]的一类对象，规范形包括每类中的特定对象。例如

*[[若尔当标准形]]是描述[[相似矩阵|矩阵相似]]的规范形。
*若将矩阵及其与[[非奇异方阵|可逆方阵]]的左乘视作等价，则[[阶梯型矩阵]]是规范形。

在计算机科学与[[计算机代数]]中，在计算机中有很多方法表示同一个数学对象。这时，规范形是对每个对象都有唯一表示的表示法（[[典型化]]是将某种表示转换为规范形的过程。因此，测试两个对象的规范形是否相等，便可轻松地验证它们是否等价。
规范形经常依赖于任意选择（如变量排序），给测试两个对象是否等价的独立计算带来困难。因此，在计算机代数中，标准形是很弱的概念：标准形中，0的表示是唯一的，因此可以通过对两个对象作差、置于标准形中，来检验它们是否相等。

规范形也可以指以自然（规范）方式定义的[[微分形式]]。

==定义==
给定对象集合''S''以及其上的[[等价关系]]''R ''，则指定''S''中的一些对象为“规范形”，这样所考虑的每个对象都等价于规范形的某个对象。换句话说''S''中的规范形代表一类等价类。要检验两个对象是否等价，只需检验其规范形是否等价。
因此，规范形提供了[[分类定理]]，还为类中的对象提供了代表形式。

形式上，集合''S''上等价关系''R''的规范化是一个映射''c'':''S''→''S''，对所有''s''、''s''<sub>1</sub>、''s''<sub>2</sub> ∈ ''S''：
#''c''(''s'') = ''c''(''c''(''s'')) &nbsp; （[[幂等]]性）；
#''s''<sub>1</sub> ''R'' ''s''<sub>2</sub>，当且仅当''c''(''s''<sub>1</sub>) = ''c''(''s''<sub>2</sub>) &nbsp; （决定性）；
#''s'' ''R'' ''c''(''s'') &nbsp;（代表性）。

性质3是冗余的：将性质2应用于性质1即可得出。

在实际应用中，能识别规范形往往是有利的。还有一个实际的算法问题需要考虑：如何将''S''中的给定对象''s''转换为规范形式''s*''？规范形一般用于更有效地运算等价类。例如，[[模算术]]中，同余类的规范形通常是其中的最小非负整数。类运算可以组合这些代表形，并将结果还原为最小非负余数。
唯一性要求有时会被放宽，允许形式在更精细的等价关系下是唯一的。

规范形可能只是惯例，也可能来自定理。例如，多项式在书写时通常按幂次递减：如''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 30，而非''x'' + 30 + ''x''<sup>2</sup>。相对地，矩阵的[[若尔当标准形]]来自定理。

==示例==
===大数记号===
标准形用于书写极大的数字，其中最知名的是[[科学计数法]]。<ref>{{Cite web|url=https://serc.carleton.edu/quantskills/methods/quantlit/BigNumbers.html|title=Big Numbers and Scientific Notation|website=Teaching Quantitative Literacy|language=en|access-date=2019-11-20|archive-date=2023-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20230326211543/https://serc.carleton.edu/quantskills/methods/quantlit/BigNumbers.html|dead-url=no}}</ref>

===数论===
*正整数的规范表示
*[[连分数]]的标准形

===线性代数===
{| class="wikitable"
|-
! 对象
! ''A''等价于''B''的条件
! 规范形
! 注释
|-
| [[复数 (数学)|复数]][[正规矩阵]]
| <math>A=U^*B U</math>，[[酉矩阵]]''U''
| [[对角矩阵]]（重排序）
| [[谱定理]]
|-
| 复数矩阵
| <math>A=U B V^*</math>，酉矩阵''U、V''
| 元素为正实数的对角阵（降序）
| [[奇异值分解]]
|-
| [[代数闭域]]矩阵
| <math>A=P^{-1} B P</math>，[[非奇异方阵]]''P''
| [[若尔当标准形]]（块重排序）
|
|-
| 代数闭域矩阵
| <math>A=P^{-1} B P</math>，非奇异方阵''P''
| [[韦尔规范形]]（块重排序）
|
|-
| 域矩阵
| <math>A=P^{-1} B P</math>，非奇异方阵''P''
| [[弗罗贝尼乌斯标准形]]
|
|-
| [[主理想域]]矩阵
| <math>A=P^{-1} B Q</math>，非奇异方阵''P、Q''
| [[史密斯标准形]]
| 可逆的基本行列变换不影响等价性
|-
| 整数矩阵
| <math>A=UB</math>，[[幺模矩阵]]''U''
| [[埃尔米特标准形]]
|
|-
| 整数模n矩阵
|
|[[豪厄尔标准形]]
|
|-
| 域''K''上的有限维[[向量空间]]
| ''A、B''作为向量空间同构
| <math>K^n</math>，''n''为非负整数
|
|}

===代数===
{| class="wikitable"
|-
! 对象
! ''A''等价于''B''的条件
! 标准形
|-
| 有限生成''R''-模，''R''为[[主理想域]]
| ''A、B''作为''R''-模同构

| 初等分解（重排序）或不变因子分解
|}

===几何===
[[解析几何]]中：
*直线方程：''Ax''&nbsp;+&nbsp;''By''&nbsp;=&nbsp;''C''，而 ''A<sup>2</sup>''&nbsp;+&nbsp;''B''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1（''C''&nbsp;≥&nbsp;0）
*圆方程：<math>(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2</math>

方程还有其他书写形式。例如，直线方程可以写作点斜式和斜截式的[[一次方程]]。

[[凸多胞形]]可以表示为标准形：
*所有面都是平的；
*所有边都与单位球面相切；
*多面体的中心店位于原点。<ref>{{citation|title=Lectures on Polytopes|author-link=Günter M. Ziegler|first=Günter M.|last=Ziegler|year=1995|isbn=0-387-94365-X|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer-Verlag|volume=152|pages=117–118}}</ref>

===可积系统===
所有可微[[流形]]都有[[余切丛]]，总可以被赋予某种[[微分形式]]，称为[[重言1形式]]。这种形式使余切丛具有[[辛流形]]的结构，并允许流形上的向量场通过[[欧拉-拉格朗日方程]]或[[哈密顿力学]]进行积分，这种可积的[[微分方程]]系统称为[[可积系统]]。
===动力系统===

[[动力系统]]研究与[[可积系统]]有所重合；在动力系统研究中，我们也有标准形的概念。

===三维几何===
三维流形研究中，有[[第一基本形式]]、[[第二基本形式]]与[[第三基本形式]]。

===函数分析===
{| class="wikitable"
|-
! 对象
! ''A、B''等价的条件
! 标准形
|-
| [[希尔伯特空间]]
| ''A、B''均为有限维希尔伯特空间，则''A、B''保距同构。
| <math>\ell^2(I)</math>数列空间（将索引集''I''换为另一个等[[势 (数学)|势]]索引集的意义上）
|-
<!-- please double-check this one -->
| 有单位（unit）的可交换[[C*-代数]]
| ''A、B''作为C*-代数同构
| [[紧空间|紧]][[豪斯多夫空间]]上的连续函数代数<math>C(X)</math>，与基空间[[同胚]]的意义上。
|}

===经典逻辑===
{{main article|规范形式 (布尔代数)}}
*否定范式
*[[合取范式]]
*[[析取范式]]
*代数范式
*[[前束范式]]
*[[斯科伦范式]]
*Blake范式，也称为素蕴涵的完全和、完全和或析取素形式
===集合论===
*[[序数]]的[[序數算術#康托尔范式|康托尔范式]]

===改写系统===
改变公式的形式的符号操作称为公式的“改写”（rewriting）。可以研究可对公式进行有效操作的规则集合，以研究公式改写的抽象性质，也就是“改写规则”——[[抽象改写系统]]的一个部分。常见问题是，有没有可能将某些通用表达式变为一种单一的、通用的形式，即标准形。若不同的改写序列仍能得到相同的形式，则这种形式就可称为标准形，改写则称为汇合（confluent）。标准形不总可得。

===λ演算===
*若不能进行beta还原，则lambda项就是[[Beta范式]]；[[λ演算]]是抽象改写系统的一种特殊情况。例如，在无类型的lambda演算中，<math>(\lambda x.(x x) \; \lambda x.(x x))</math>项没有标准形。在有类型的lambda演算中，每个形式良好的项都可改写为标准形。

===图论===
{{main article|图规范化}}
[[图论]]中，图规范化是找到给定图''G''的规范形的过程。图的规范形是与''G''[[图同构]]的[[图标号|有标号图]]Canon(''G'')，这样，与''G''同构的图都具有与''G''相同的规范图，也就实现了图同构的判断。

===计算 (计算机科学)===
在[[计算 (计算机科学)|计算]]中，将数据还原为任一种规范形通常称为“数据规范化”（data normalization）。

例如，[[数据库规范化]]是对[[关系数据库]]的[[字段]]和[[数据库表]]进行调整，以尽量减少[[数据冗余]]与依赖的过程。<ref>{{Cite web|url=https://support.microsoft.com/en-ca/help/283878/description-of-the-database-normalization-basics|title=Description of the database normalization basics|website=support.microsoft.com|access-date=2019-11-20|archive-date=2019-05-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20190523092309/https://support.microsoft.com/en-ca/help/283878/description-of-the-database-normalization-basics/|dead-url=no}}</ref>
在[[计算机安全|软件安全]]领域，常见的[[漏洞]]是未经检查的恶意输入（参见[[代码注入]]），解决方法是进行适当的[[数据确认]]。在进行输入验证之前，通常会通过消除编码（如[[HTML字符编码]]）和将其化为单一通用[[字符编码]]的方式进行正规化处理。
其他形式的数据（通常与[[信号处理]]，包括[[音频信号处理|音频]]、[[数字图像处理|图像]]，以及[[机器学习]]）也可以进行规范化处理，以将数值范围框定得有限。

在[[内容管理]]中适用[[单一信源]]（SSOT）的概念，与[[数据库规范化]]和[[软件开发]]相仿。功能强大的[[内容管理系统]]可以提供获取单一信源的合理方法，例如[[嵌入 (网络)|嵌入]]。

==另见==
*[[典型化]]
*[[规范基]]
*[[标准丛]]
*[[正则化]]
*[[标准化]]

==注释==
<references/>

==参考文献==
*{{citation | last=Shilov | first=Georgi E. | title=Linear Algebra | editor-last=Silverman | editor-first=Richard A. | date=1977 | publisher=Dover | isbn=0-486-63518-X }}.
*{{citation | last=Hansen | first=Vagn Lundsgaard | title = Functional Analysis: Entering Hilbert Space | date=2006 | publisher=World Scientific Publishing | isbn=981-256-563-9}}.

[[Category:代数]]
[[Category:逻辑概念]]
[[Category:数学术语]]
[[Category:形式主义 (推理)]]