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|G1=物理學
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'''规范场论'''（{{lang-en|gauge theory}}）是基于[[对称]]变换可以局部也可以全局地施行这一思想的一类物理理论。规范场论可分为阿贝尔规范场论和非阿贝尔规范场论。非阿贝尔群（[[非交換幾何|非交换对称群]]）的规范场论最常見的例子为[[楊-米爾斯理論|杨-米尔斯理论]]。

物理系統往往用在某种变换下[[不变量|不变]]的[[拉格朗日量]]表述，当变换在每一[[时空]][[点]]同时施行，它们有{{zh-em|全局对称性}}。规范场论推广了这一思想，它要求拉格朗日量必须也有{{zh-em|局部对称性}}——应该可以在时空的特定区域施行这些对称变换而不影响到另外一个区域。这个要求是[[广义相对论]]的[[等效原理]]的一个推广。

规范“[[对称性 (物理学)|对称性]]”反映了系统表述的一个冗余性。

规范场论在物理学上的重要性，在于其成功為[[量子電動力學|量子电動力学]]、[[弱相互作用]]和[[强相互作用]]提供了一个统一的数学形式化架构——[[标准模型]]。這套理論精确地表述了自然界的三種[[基本力]]的[[实验]]预测，它是一个[[规范群]]为[[酉群|SU(3)×SU(2)×U(1)]]的'''规范场论'''。像[[弦论]]这样的现代理论，以及[[广义相对论]]的[[vierbein|一些表述]]，都是某种意义上的规范场论。

有时，规范对称性一词被用于更广泛的含义，包括任何局部对称性，例如[[微分同胚]]。该术语的这个含义'''不'''在本条目使用。

== 简史 ==
[[詹姆斯·麦克斯韦]]的[[电动力学]]是最早包含规范对称性的物理理论。

馬克士威在他的論文裏特別提出，该理論源自[[開爾文男爵]]於1851年發現的關於磁矢勢的數學性質。<ref>{{Citation  | last =Maxwell | first = James | author-link = 詹姆斯·馬克士威  | title = The scientific papers of James Clerk Maxwell| volume = 1|year=1890  | place = New York  | publisher = Doer Publications  | editor-last = Nivin   | editor-first = William   | chapter =8   | url = http://www.archive.org/details/scientificpapers01maxw}}</ref>{{rp|198-199}}但是，该对称性的重要性在早期的表述中没有被注意到。[[大衛·希爾伯特]]假設在座標變換下[[作用量]]不變，由此推導出愛因斯坦場方程時，但他也沒有注意到對稱性的重要。

之後，[[赫尔曼·外尔]]试图统一[[广义相对论]]和[[电磁学]]，他猜想「Eichinvarianz」或者说[[尺度]]（“[[规范]]”）变换下的「不变性」可能也是广义相对论的局部对称性。后来发现该猜想将导致某些非物理的结果。但是在[[量子力学]]发展以后，外尔、[[弗拉基米尔·福克]]和[[弗里茨·伦敦]]实现了该思想，但作了一些修改（把缩放因子用一个[[复数 (数学)|复数]]代替，并把尺度变化变成了[[相位]]变化—一个U(1)规范对称性），這相應於帶[[电荷]]的量子[[粒子]]其[[波函数]]受到[[电磁场]]的影响，給定了一个漂亮的解释。这是第一个规范场论。泡利在1940年推动了该理论的传播。<ref>{{cite journal | last1 = Pauli | first1 = Wolfgang | authorlink = Wolfgang Pauli | year = 1941 | title = Relativistic Field Theories of Elementary Particles | url = http://prola.aps.org/abstract/RMP/v13/i3/p203_1 | journal = Rev. Mod. Phys. | volume = 13 | issue = | pages = 203–32 | doi=10.1103/revmodphys.13.203| bibcode = 1941RvMP...13..203P }}</ref>

1954年，为解决一些[[粒子物理學|基本粒子物理]]中的巨大混乱，[[杨振宁]]和[[罗伯特·米尔斯]]引入[[非交换]]规范场论，來建構將[[核子]]绑在[[原子核]]中的[[强相互作用]]的模型。（Ronald Shaw，在[[阿卜杜勒·薩拉姆]]指導下，在他的博士论文中独立地引入了相同的概念。）通过推广电磁学中的规范不变性，他们试图构造基于（非交换的）SU(2)对称[[群]]在[[同位旋]][[质子]]和[[中子]]对上的作用的理论，类似于U(1)群在[[量子电动力学]]的[[旋量]][[物理場|场]]上的作用。在粒子物理中，重点在於'''量子化规范场论'''。

该思想后来被发现能够用于[[弱相互作用]]的[[量子场论]]，以及它和电磁学的[[電弱交互作用|电弱統一理论]]中。当人们意识到非交换规范场论能够导出{{zh-em|[[渐近自由]]}}的时候，规范场论变得更有吸引力，因为渐近自由被认为是强相互作用的一个重要特点—因而推动了寻找强相互作用的规范场论的研究。这个理论现在称为[[量子色动力学]]，是一个SU(3)群作用在[[夸克]]的[[色荷]]上的规范场论。[[标准模型]]用规范场论的语言统一了电磁力、弱相互作用和强相互作用的表述。

1970年代[[迈克尔·阿蒂亚]]爵士提出了研究'''经典杨-米尔斯方程'''的数学解的计划。

1983年，阿蒂亚的学生[[西蒙·唐纳森|西蒙·唐納森]]在这个工作之上证明了[[光滑函数|光滑]]4-[[流形]]的[[可微]]性分类和[[同胚]]性分类非常不同。[[麥可·弗里德曼]]采用唐納森的工作证明[[奇異R4|奇異'''R'''<sup>4</sup>]]的存在，也就是，[[欧几里得空间|歐幾里得4维空间]]上的奇异[[微分结构]]。这导致对于规范场论作為數學理論的兴趣逐漸增加，独立于它在基础物理中的成功。

1994年，[[爱德华·威滕]]和[[内森·塞伯格]]发明了基于[[超对称]]的规范场技术，使得特定[[拓扑不变量]]的计算成为可能。这些数学上的成果也导致了对该领域的新兴趣。

== 经典规范场论 ==
=== 电磁学中的简单的规范对称性的例子 ===
[[电路]]中[[接地]]的定义是[[规范对称性]]的一个例子；当线路所有点的电位升高相同的值时，电路的行为完全不变；因为电路中的电位差不变。该事实的一个常见释例是栖息在高压电线上的鸟不会遭电击，因为鸟对地绝缘。

这称为整体[[规范对称性]]{{fn|Trefil,1983}}。电压的绝对值不是真实的；真正影响电路的是电路组件两端的电压差。接地点的定义是任意的，但一旦该点确定了，则该定义必须全局的采用。

相反，如果某个对称性可以从一点到另一点任意的定义，它是一个局域规范对称性。

=== 一个例子：标量 O(''n'') 规范场论 ===
:''本节要求一些经典或[[量子场论]]的知识，以及[[拉格朗日量]]的使用。''

:''本节中的定义：规范群，规范场，相互作用拉格朗日量，规范玻色子''

下面解释了局域规范不变性可以从整体对称性质启发式地“导出”，并且解释了它如何导向原来不相互作用的场之间的相互作用。

考虑''n''个无相互作用的[[标量场]]，它们有相同的质量''m''。该系统用一个[[作用量]]表示，它是每个标量场φ<sub>i</sub>的作用量之和

:<math> \mathcal{S} = \int \, d^4 x \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2. </math>

拉格朗日量可以简明的写作

:<math>\ L = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi </math>

这是通过引入一个场的[[向量]]
:<math>\ \Phi = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T. </math>

现在很明顯地，拉格朗日量在下面的变换中不变

:<math> \Phi \mapsto G \Phi </math>

只要''G''是一个''常数'' [[矩阵]]，且属于''n''-乘-''n'' [[正交群]] O(''n'')。此為这个拉格朗日量的{{zh-em|全局}}对称性，而对称群经常称为'''规范群'''，在[[G-結構]]數學理論中則被稱為[[結構群]]。巧合的是，[[诺特定理]]蕴含着该变换群作用下的不变量导致如下的[[流 (数学)|流]]的守恒

:<math>\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^T T^{a} \Phi</math>

其中''T<sup>a</sup>''矩阵是SO(''n'')群的[[诺特荷|生成元]]。每个生成元有一个守恒流。

现在，要求这个拉格朗日量必须有{{zh-em|局域}}O(''n'')-不变性要求''G''矩阵（原来是常数）必须允许成为[[时空]][[坐标]]''x''的函数。

不幸的是，''G''矩阵无法“穿遞”给导数。当''G'' = ''G''(''x'')， 

:<math>\ \partial_\mu (G \Phi)^T \partial^\mu G \Phi \neq \partial_\mu \Phi^T  \partial^\mu \Phi. </math>

為了修正這個失誤，我們定義新的“[[导数]]”''D''

:<math>\ D_\mu (G(x) \Phi(x)) = G(x) D_\mu \Phi. </math>

可以验证这样一个“导数”（称为[[协变导数]]）有以下形式

:<math>\ D_\mu = \partial_\mu + g A_\mu(x) </math>

其中'''规范场''' ''A''(''x'')定义为有如下变换律的场

:<math>\ A_{\mu}(x)  \mapsto G(x)A_{\mu}(x)G^{-1}(x) - \frac{1}{g}  \partial_\mu G(x) G^{-1}(x) </math>

而''g''为耦合常数 - 定义一个相互作用强度的量。

规范场<math>\ A_{\mu}(x)</math>是[[李代数]]的一个元素，因此可以展开为

:<math>\ A_{\mu}(x)=  \sum_a A_{\mu}^a (x) T^a </math>

所以相互独立的规范场和李代数的生成元一样多。

最后，我们有了一个{{zh-em|局域规范不变}}的拉格朗日量

:<math>\ L_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi. </math>

泡利把应用到象<math>\Phi</math>这样的场上的变换称为{{zh-em|第一类规范变换}}，而把<math>A</math>中的补偿变换称为{{zh-em|第二类规范变换}}。

[[File:Feynman-Diagram.svg|thumb|right|180px|标量玻色子通过规范玻色子而相互作用的[[费曼图]]]]

这个拉格朗日量和初始的{{zh-em|全局规范不变}}的拉格朗日量的区别可以视为'''相互作用拉格朗日量'''

:<math>\ L_\mathrm{int} = \frac{g}{2} \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + \frac{g}{2}  (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi + \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi.  </math>

為了引入局部规范不变性，结果導致了''n''个标量场之间的[[基本相互作用|相互作用]]。在这个经典[[经典场论|场论]]的[[量子化]]版本中，规范场''A''(''x'')的[[量子]]称为[[规范玻色子]]。相互作用拉格朗日量在量子场论中的解释是标量[[玻色子]]通过交换这些规范玻色子来相互作用。

=== 规范场的拉格朗日量 ===
{{main|楊-米爾斯理論}}
我们关于经典规范理论的图像基本完成了，还剩协变导数''D''的定义，为此我们必须知道规范场'' A(x) ''在所有时空点的值。由其手工的设置这个场的值，它可以通过一个场方程的解给出。再进一步要求产生这个场方程的拉格朗日量也是局部规范不变的，规范场拉格朗日量可以（传统地）写作

:<math>\ L_\mathrm{gf} = - \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}) </math>

其中

:<math>\ F_{\mu \nu} = [D_\mu, D_\nu] </math>

而[[跡]]在场的[[向量空间]]上取。此即為'''楊-米爾斯作用量'''。

注意在这个拉格朗日量中，没有一个场<math>\Phi</math>的变换抵消了<math>A</math>的变换。该项在规范变换中的不变性是前面经典（几何）对称性的特殊情况。该对称性必须被限制以施行量子化，这个过程被称为{{zh-em|规范固定}}，但是即使在限制之后，规范变换还是可能的<ref>J. J. Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', Addison-Wesley, 1967, sect. 1–4.</ref>。

O(n)规范场论的拉格朗日量现在成了
:<math>\ L = L_\mathrm{loc} + L_\mathrm{gf} = L_\mathrm{global} + L_\mathrm{int} + L_\mathrm{gf} </math>

=== 例子：电动力学 ===

作为前面章节中发展的形式化表述的简单应用，考虑[[电动力学]]的情形，只考虑[[电子]]场。产生电子场的[[狄拉克方程]]的最简单作用量可寫成

:<math> \mathcal{S} = \int \bar\psi(i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi \, d^4x.
</math>

该系统的全局对称性是

:<math>\ \psi \mapsto e^{i \theta} \psi.</math>

这里的规范群是[[U(1)]]，也就是场的[[复数 (数学)|相位角]]，带一个常数<math>\,\theta</math>。

“局部”化这个对称性意味着用<math>\,\theta(x)\,</math>取代<math>\,\theta</math>。

一个合适的共变导数是

:<math>\ D_\mu = \partial_\mu + i e A_\mu. </math>

将“荷” ''e''视为通常的[[电荷]]（这也是规范理论中这个术语的使用的来源），而把规范场''A''(''x'')视为[[电磁场]]的[[電磁四維势]]得到一个相互作用拉格朗日量

:<math>\ L_\mathrm{int} = \bar\psi(x) \gamma^\mu \psi(x) A_{\mu}(x) = J^{\mu}(x)
A_{\mu}(x). </math>

其中''J''(''x'')是通常的电流密度的[[四維向量]]。规范原理因而可以视作以一种自然的方式引入了电子场與电磁场間的{{le|最小耦合|minimal coupling}}。

像古典電動力學一樣，以[[電磁張量|場強度張量]]形式加入[[经典电磁理论的协变形式#拉格朗日量|规范场''A''(''x'')的拉格朗日量]]，可以得到在[[量子电动力学]]中作为起点的拉格朗日量。

:<math>\ L = \bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}. </math>

{{see also|狄拉克方程|麦克斯韦方程组|量子电动力学}}

== 数学形式化 ==

规范理论通常用[[微分几何]]的语言讨论。数学上，一个''规范''就是某个[[主叢]]的（局部）[[截面 (纤维丛)|截面]]的一个选择。一个'''规范变换'''也就是兩個截面間的變換。

注意，虽然规范理论被[[联络]]的研究占据了大部分（主要是因为它主要在[[高能物理]]中研究），联络這個概念一般而言其非规范理论的中心概念。事实上，一般规范理论的一个结果表明规范变换的[[仿射表示]]（也就是仿射[[模]]）可以分类到一种满足特定属性的[[节丛]]的截面。有些表示在每一点共变（物理学家称其为第一类规范变换），有些表示象[[联络形式]]一样变换（物理学家称其为第二类规范变换，一种仿射表示），还有其它更一般的表示，例如[[BF理论]]中的B场。当然，我们可以考虑更一般的非線性表示（实现），但那很复杂。但是，[[非线性σ模型]]的变换是非线性地，所以它们也有用处。

若我们有一个[[主丛]]''P''其[[纤维丛|底空间]]是[[空间]]或[[时空]]而[[结构群]]是一个[[李群]]，则''P''的截面组成一个规范变换群的[[主齊性空間]]。

我们可以在该主丛上定义一个[[联络 (主丛)|联络]]（规范联络），这可以在每个[[配丛]]上产生一个[[共变导数]]∇。若我们选择一个局部标架（截面的局部基），我们就可以用[[联络形式]]''A''表示这个共变导数，一個值為[[李代数]]的[[微分形式|1-形式]]，在[[物理学]]中称为'''规范势'''，它显然不是内在性质，而是一个依赖于标架的选择的量。从这个联络形式，我们可以构造[[曲率形式]]''F''，这是一个值為李代数的[[微分形式|2-形式]]，这是一个内在量，定义为

:<math>\mathbf{F}=d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math>

其中 ''d'' 代表[[外微分]]而<math>\wedge</math>代表[[楔積|楔积]]。

[[无穷小]]规范变换形成一个[[李代数]]，可以被一个光滑[[李代数]]值的[[标量 (数学)|标量]]，ε所刻畫。在这样一个[[无穷小]]规范变换下，

:<math>\delta_\varepsilon \mathbf{A}=[\varepsilon,\mathbf{A}]-d\epsilon</math>

其中<math>[\cdot,\cdot]</math>是[[李代数|李括号]]。

一个有趣的结果是，若<math>\delta_\varepsilon X=\varepsilon X</math>，则<math>\delta_\varepsilon DX=\varepsilon DX</math> 其中D是共变导数

:<math>DX\equiv dX+\mathbf{A}X.</math> 

而且，<math>\delta_\varepsilon \mathbf{F}=\varepsilon \mathbf{F}</math>，这意味着'''F'''共变地变换。

並非所有的规范变换都可以用无穷小规范变换生成；例如，当底流形是一个无[[边界]]的[[紧致]]流形，且从该流形到李群的映射的[[同伦]]类非平凡的时候。参看[[瞬子]]（instanton）中的例子。

''杨-米尔斯作用''现在可以如下给出

:<math>\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F\wedge F]</math>

其中 * 代表[[霍奇对偶]]而积分和在[[微分形式|微分几何]]中的定义一样。

一个'''规范-不变量'''也就是在规范变换下的[[不变量]]的例子是[[威爾森迴圈|威尔逊环]]（Wilson loop），它定义在闭合路径γ上，定义如下：

:<math>\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)</math>

其中χ是複[[群表示|表示]]ρ的[[特征标]]；而<math>\mathcal{P}</math>表示路径排序算子。

== 规范理论的量子化 ==
專用來量子化任何[[量子场论]]的方法也可用来量子化规范理论。但是，因为规范约束（参看上面的数学表述一节）的微妙性，會出現很多在其他场论不存在的技術问题，待為解決。同时，规范理论的更丰富的结构简化了一些计算：例如[[Ward恒等式]]联系了不同的[[重整化]]常数。

=== 方法和目标 ===

第一个量子化的规范理论是[[量子电动力学]]（QED）。为此发展的最初的方法涉及规范固定和施行[[标准量子化]]。{{link-en|Gupta-Bleuler方法|Gupta-Bleuler formalism}}也被发展出来用于处理这个问题。非交换规范理论现在用很多不同的方法处理。量子化的方法在[[量子化]]条目有介绍。

量子化的要点，在于能够计算理论所允许的各种過程的[[機率幅|量子振幅]]。技术上，它们簡化为在[[真空態|真空态]]下的特定[[相关系数函数]]的计算。这涉及到理论的[[重整化]]。

当理论的[[耦合常數#跑動的耦合常數|變動耦合]]足够小时，所有需要计算的量可以用[[微擾理論 (量子力學)|微扰理论]]计算。设计用于简化这样的计算的量子化方案（例如[[量子化#标准量子化|标准量子化]]）可以称为'''微扰量子化方案'''。现在一些这种方法导致了规范理论的更精确的试验测试。

但是，在多数规范理论中，有很多有趣的问题是非微扰的。设计用于这些问题的量子化方案可以称为'''非微扰量子化方案'''（像是[[格點規範場論]]）。这样的方案的精确计算经常需要超級大量地计算，因而目前比其他方案的发展要少。

=== 反常 ===

一些理论经典的对称性在量子理论中不再成立—这个现象称为一个'''[[反常]]'''。最出名的包括：
* [[共形反常]]，它导致了一个''變動耦合常数''。在QED中，这导致了[[朗道奇点]]（Landau pole）。在[[量子色动力学]]（QCD）中，这导致[[漸近自由|渐近自由]]。
* [[手征反常]]，出现在费米子手性或者向量场论中。这通过[[瞬子]]的概念而和[[拓扑学|拓扑]]有紧密的关联。
在QCD中，这个反常导致了[[π介子]]衰变成为两个[[光子]]。
* [[规范反常]]，在任何自洽的物理理论中必须消去。在[[電弱理論|电弱理论]]中，这个消去要求[[夸克]]和[[轻子]]数量相等。

== 参看 ==
* [[标准模型]]，[[電弱理論|电弱理论]]，[[量子色动力学]]
* [[量子规范理论]]
* [[库仑规范]]，[[洛伦茨规范]]，[[外尔规范]]
* [[规范共变导数]]
* [[卡魯扎-克萊因理論]]
* [[大统一理论|大一統理論]]
* [[萬有理論]]

== 参考 ==
{{reflist}}
{{reflist|list=
* George Svetlichny, [http://xxx.lanl.gov/abs/math-ph/9902027 ''Preparation for Gauge Theory''], an introduction to the mathematical aspects
* David Gross, [https://web.archive.org/web/20090316111749/http://psroc.phys.ntu.edu.tw/cjp/v30/955.pdf ''Gauge theory - Past, Present and Future''], notes from a talk
* Ta-Pei Cheng, Ling-Fong Li, ''Gauge Theory of Elementary Particle Physics'' (Oxford University Press, 1983) [ISBN 0-19-851961-3]
* {{anb|Trefil,1983}} James S. Trefil 1983年, ''创造的瞬间''。 Scribner, ISBN 0-684-17963-6 92-93页。
}}

{{量子场论}}

[[Category:规范理论| ]]
[[Category:理论物理]]
[[Category:数学物理]]