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[[数学]]中，域上''n''维[[代数簇的奇点|非奇异]][[代数簇]]''V''的'''规范丛'''是[[线丛]]<math>\,\!\Omega^n = \omega</math>，是''V''上[[余切丛]]<math>\Omega</math>的''n''次[[外代数#反对称算子和外幂|外幂]]。

[[复数 (数学)|复数]]上，它是全纯[[余切丛]]<math>T^*V</math>的行列式丛；等价地，它是''V''上全纯''n''形式的线丛。这是''V''上[[塞雷对偶性]]的[[对偶 (数学)|对偶化对象]]，同样可视作[[可逆层]]。

'''规范类'''是''V''上[[除子#Cartier除子|卡蒂埃除子]]''K''的除子类，产生了规范丛。规范类是''V''上线性等价的[[等价类]]，其中任何除子都可称作'''规范除子'''。

'''反规范丛'''是相应的[[逆丛]]<math>\omega^{-1}</math>。''V''的反规范丛是[[丰沛线丛|丰沛]]的，则称''V''是[[法诺簇]]。

==伴随公式==
{{main|伴随公式 (代数几何)}}
设''X''是[[光滑概形|光滑簇]]，''D''是''X''上的光滑除子。伴随公式将''X''与''D''的规范丛关联起来。这是个自然同构
:<math>\omega_D = i^*(\omega_X \otimes \mathcal{O}(D)).</math>
用规范类表示就是
:<math>K_D = (K_X + D)|_D.</math>
此式是代数几何中最强大的公式之一。现代双有理几何的一个重要工具是逆伴随，可以从''D''的奇点推导出''X''的奇点的结果。

==规范丛公式==
令''X''是正交面（normal surface）。''X''的'''''g''亏格纤维化'''<math>f:X\to B</math>是到光滑曲线的[[紧合态射|紧合]][[平坦态射|平坦]]态射''f''，使<math>f_*\mathcal{O}_X\cong \mathcal{O}_B</math>，并且''f''的所有纤维''f''都有[[算术亏格]]''g''。若''X''是光滑射影面、''f''的[[纤维 (数学)|纤维]]不含自交<math>-1</math>的有理曲线，就称纤维化是最小的（minimal）。例如，若''X''允许（最小）0亏格纤维化，则''X''就是双有理规则的，即双有理于<math>\mathbb{P}^1\times B</math>。
对最小1亏格纤维化（也称作[[椭圆曲线|椭圆纤维化]]）<math>f:X\to B</math>，除有限多个纤维外，''f''的所有纤维都是几何积分，且所有纤维都几何连通（由[[扎里斯基连通性定理]]）。特别地，对''f''的纤维<math>F=\sum^{n}_{i=1}a_iE_i</math>，有<math>F.E_i=K_X.E_i=0</math>，其中<math>K_X</math>是''X''的规范除子，因此对<math>m=\operatorname{gcd}(a_i)</math>，若<math>m=1</math>，则''F''是几何积分，否则<math>m>1</math>。

考虑最小1亏格纤维化<math>f:X\to B</math>。令<math>F_1,\dots,F_r</math>是有限多纤维，且不是几何积分，并记<math>F_i=m_iF_i^'</math>，其中<math>m_i>1</math>是<math>F_i</math>展开为积分组分的系数的最大公除子。这些纤维称作'''多重纤维'''（multiple fiber）。通过[[基变换定理|上同调与基变换]]可得<math>R^1f_*\mathcal{O}_X=\mathcal{L}\oplus\mathcal{T}</math>，其中<math>\mathcal{L}</math>是可逆层，<math>\mathcal{T}</math>是扭层（<math>\mathcal{T}</math>受<math>b\in B</math>支持，使得<math>h^0(X_b,\mathcal{O}_{X_b})>1</math>）。那么
:<math>\omega_X\cong f^*(\mathcal{L}^{-1}\otimes \omega_{B})\otimes \mathcal{O}_X\left(\sum^r_{i=1}a_iF_i'\right)</math>
其中<math>\forall i,\ 0\leq a_i<m_i</math>，且<math>\operatorname{deg}\left(\mathcal{L}^{-1}\right)=\chi(\mathcal{O}_X)+\operatorname{length}(\mathcal{T})</math>。<ref>{{cite book |last=Badescu |first=Lucian |author-link=Lucian Badescu |date=2001 |title=Algebraic Surfaces |publisher=Springer Science & Business Media  |page=111 |isbn= 9780387986685}}</ref>
我们注意到
:<math>\operatorname{length}(\mathcal{T})=0\iff a_i=m_i-1</math>.

例如，对[[阿尔巴尼簇|阿尔巴尼态射]]诱导的[[超椭圆曲面|（准）双椭圆曲面]]的最小1亏格纤维化，规范丛公式给出该纤维无多重纤维。对[[K3曲面]]的最小1亏格纤维，也可以做出类似的推论。另一方面，[[恩里克斯曲面]]的最小1亏格纤维总包含多重纤维，因此这样的曲面不含截面。

==奇异情形==
奇异簇''X''上有几种方法可定义规范除子。若簇是正规的，则在余维度1上一定是光滑的。特别地，可在光滑轨迹（locus）上定义规范除子，这样就可在''X''上得到唯一的[[除子#Weil除子|韦伊除子]]，这个除子类记作<math>K_X</math>，称作''X''上的规范除子。

另外，同样是在正规簇''X''上，可以考虑''X''的正规化对偶化复形的第''d''上同调<math>h^{-d}(\omega^._X)</math>。这个层对应于一个韦伊除子类，等于上面定义的除子类<math>K_X</math>。在无正规性假设的情形下，若''X''是S2或1维[[葛仑斯坦环]]，结果也成立。

==规范映射==
若规范类是有效的，则就确定了''V''到射影空间的[[有理映射]]，称作'''规范映射'''（canonical map），由规范类的''n''倍确定的就称作'''''n''-规范映射'''。''n''-规范映射将''V''送到比''n''倍规范类的全局截面低1维的射影空间。''n''-规范映射可能有基点，就是说它们不是处处有定义的（即可能不是簇的态射）。它们可能有正维纤维，即使有0维纤维，也不一定是局部解析同构。

===规范曲线===
研究得最好的是曲线。其中，规范丛与（全纯）[[余切丛]]相同。因此，规范丛的全局截面与处处规则（everywhere-regular）微分形式相同，经典上这些微分被称作第一类微分。对亏格为''g''的曲线，规范类的度数为<math>2g-2</math>。<ref>{{Springer|title=canonical class|id=C/c020120}}</ref>

====低亏格====
设''C''是亏格为''g''的光滑代数曲线。若<math>g=0</math>，则''C''是'''P'''<sup>1</sup>，规范类是<math>2P</math>的类，其中''P''是''C''的任一点。这源于微积分公式<math>{\rm d}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{{\rm d}t}{t^2}</math>，例如[[黎曼球面]]上原点处有双极点的亚纯微分。特别地，<math>K_C</math>及其倍数不是有效的。若<math>g=1</math>，则''C''是[[椭圆曲线]]，<math>K_C</math>是平凡丛。平凡丛的全局截面构成饿了1维向量空间，因此对任意''n''，''n''规范映射就是到一点的映射。

====超椭圆情形====
若''C''的亏格大于等于2，则规范类一般很大，因此任意''n''-规范映射的像都是曲线。1-规范映射的像称作'''规范曲线'''。亏格为''g''的规范曲线总位于维数为<math>g-1</math>的射影空间中。<ref name = Parshin>{{springer| title= Canonical curve | id= c/c020150 | last= Parshin | first= A. N.}}</ref>''C''是[[超椭圆曲线]]时，规范曲线是[[有理正规曲线]]，而''C''是其规范曲线的双覆盖。例如，若''P''是度数为6的多项式（无重根），则

:<math>y^2=P(x)</math>

是亏格2曲线的仿射曲线表示，必然是超椭圆曲线，第一类微分的基用同样的符号可表为

:<math>\frac{{\rm d}x}{\sqrt{P(x)}},\ x\frac{{\rm d}x}{\sqrt{P(x)}}</math>.

这意味着，[[齐次坐标]]<math>[1:\ x]</math>作为到射影线的态射，给出了规范映射。亏格更高的超椭圆曲线的有理正规曲线也以同样方式产生，''x''的幂次为高次单项式。

====一般情形====
否则，对非超椭圆的''C''（即''g''大于3），态射是''C''与其像之间的同构，后者的次数为<math>2g-2</math>。因此对<math>g=3</math>，规范曲线（非超椭圆情形）是[[四次平面曲线]]。所有非奇异四次平面曲线都这样产生。<math>g=4</math>时，规范曲线是[[二次曲面]]与[[三次曲面]]的交；<math>g=5</math>时，规范曲线是3个二次曲面的交。<ref name = Parshin/>[[黎曼-罗赫定理]]有个反向推论：亏格为''g''的非奇异曲线''C''嵌入维度为<math>g-1</math>的射影空间，只要其线性张成了整个空间，就可成为度数为<math>2g-2</math>的[[齐次坐标环|线性正规曲线]]。事实上，规范曲线''C''（''g''不小于3的非超椭圆情形）、黎曼-罗赫定理和[[特殊除子]]理论的关系相当近。''C''上不同点组成的有效除子''D''在规范嵌入中具有维数与所属线性系统的维数直接相关的线性跨度（span），经过更多讨论，这也适用于具有重点的情形。<ref>{{cite web |url=http://rigtriv.wordpress.com/2008/08/07/geometric-form-of-riemann-roch/ |title=Geometric Form of Riemann-Roch {{!}} Rigorous Trivialities |date=2008-08-07 |access-date=2024-06-25 |archive-date=2024-06-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240625123741/https://rigtriv.wordpress.com/2008/08/07/geometric-form-of-riemann-roch/ |dead-url=no }}</ref><ref>Rick Miranda, ''Algebraic Curves and Riemann Surfaces'' (1995), Ch. VII.</ref>

对更大的''g''，可以获得更精细的信息，但这时规范曲线一般不是[[完全交]]，描述时需要更多考虑[[交换代数]]。这领域始于'''马克斯·诺特定理'''：经过''C''的二次曲面嵌入为规范曲线的维数为<math>\frac12(g-2)(g-3)</math>。<ref>[[David Eisenbud]], ''The Geometry of Syzygies'' (2005), p. 181-2.</ref>'''佩特里定理'''是卡尔·佩特里（1881–1955）于1923年发表的，指出''g''不小于4时定义规范曲线的齐次理想由其2阶元素生成，例外是(a) 三角曲线；(b) <math>g=6</math>时的非奇异四次平面曲线。例外中，理想由2阶和3阶元素生成。历史上看，这一结果在佩特里之前就已广为人知，称作巴贝奇-Chisini-Enriques定理。这结果也称作'''诺特–Enriques定理'''，因此术语上比较混乱。诺特证明超椭圆情形之外（用现代语言来说）规范丛是正规生成（normally generated）的：规范丛的截面空间的[[对称幂]]映射到其张量幂的截面上。<ref>{{springer| title= Noether–Enriques theorem | id= N/n066770 | last= Iskovskih | first= V. A.}}</ref><ref>[[Igor Rostislavovich Shafarevich]], ''Algebraic geometry I'' (1994), p. 192.</ref>比如，这说明由第一类微分生成这类曲线上的[[二次微分]]，这对局部Torelli定理有影响。<ref>{{Springer|title=Torelli theorems|id=T/t093260}}</ref>佩特里的研究实际上提供了理想（ideal）的二次、三次生成器，表明除了特殊情形外，三次可用二次表示。特殊情形下，通过规范曲线的二次交分别是[[直纹曲面]]和[[维罗纳曲面]]。

这些经典结果是在复数上证明的，但现代讨论表明，这些技术适用于任何示性的域。<ref>http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf {{Wayback|url=http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/42/57/PDF/these-OD.pdf |date=20120223174453 }}, pp. 11-13.</ref>

===规范环===
{{main|规范环}}
''V''的'''规范环'''是[[分次环]]
:<math>R = \bigoplus_{d = 0}^\infty H^0(V, K_V^d).</math>
若''V''的规范类是[[丰沛线丛]]，则规范环是规范映射的像的[[齐次坐标环]]，''V''的规范类不丰沛也成立。例如，若''C''是超椭圆曲线，则规范环还是规范映射的像的齐次坐标环。总之，若上面的环是有限生成的，则很容易看出它是''k''-规范映射（''k''是任意充分可分的正整数）的像的齐次坐标环。
[[最小模型纲领]]（minimal model program）提出，每个光滑或轻度其一射影簇的规范环都是有限生成的。特别地，众所周知，这意味着存在'''规范模型'''（即''V''的一个具有轻度奇点的特殊双有理模型）。若规范环是有限生成的，则规范模型是规范环的[[射影结构|Proj]]。若规范环不是有限生成的，则<math>{\rm Proj}R</math>就不是簇，因此对''V''不是双有理的；特别地，''V''不允许规范模型。可以证明，若''V''的规范除子''K''是[[内夫线丛|nef]]除子、''K''的[[相交理论|自交]]数为正，则''V''将接纳一个规范模型（更一般地说，这对正规完全戈伦斯坦代数空间是正确的<ref>{{cite book |last=Badescu |first=Lucian |author-link=Lucian Badescu |date=2001 |title=Algebraic Surfaces |publisher=Springer Science & Business Media  |page=242 |isbn= 9780387986685}}</ref>）。<ref>{{cite book |last=Badescu |first=Lucian |author-link=Lucian Badescu |date=2001 |title=Algebraic Surfaces |publisher=Springer Science & Business Media  |page=123 |isbn= 9780387986685}}</ref>
Birkar–Cascini–Hacon–McKernan (2006)<ref>{{cite web | url=http://www.birs.ca/birspages.php?task=displayevent&event_id=09w5033 | title=09w5033: Complex Analysis and Complex Geometry &#124; Banff International Research Station | access-date=2024-06-25 | archive-date=2009-01-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20090131062855/http://www.birs.ca/birspages.php?task=displayevent&event_id=09w5033 | dead-url=no }}</ref>的一个基本定理是：光滑或轻度奇异的射影代数簇的规范环是有限生成的。

''V''的[[小平维度]]是规范环的维度减一。这里的规范环维度是[[克鲁尔维数]]或[[代数扩张|超越度]]。

==另见==
* [[双有理几何]]
* [[微分形式]]

==注释==
{{Reflist}}

[[Category:向量丛]]
[[Category:代数簇]]