查看“︁覆盖 (拓扑学)”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[数学]]中，若 <math>X</math> 是一個集合[[类 (数学)|类]] <math>C</math> 中[[并集]]的[[子集]]，則集合[[类 (数学)|类]] <math>C</math> 是[[集合 (数学)|集合]] <math>X</math> 的'''覆盖'''。用符号来说，如果 <math>C = \lbrace U_\alpha\rbrace_{\alpha \in A}</math> 是 <math>X</math> 的子集[[索引族]]，则 <math>C</math> 是如下条件下的覆盖（定义可参见: Gamelin 与 Greene 第19頁或 Kelly 第49頁）

:<math>X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}</math>。

更一般的说，如果 <math>Y</math> 是 <math>X</math> 的子集，而 <math>C</math> 是 <math>X</math> 的子集 <math>U_\alpha</math> 的[[搜集]]，它的[[并集]]包含 <math>Y</math>，则 <math>C</math> 被称为是 <math>Y</math> 的覆盖。也就是 <math>C</math> 是 <math>Y</math> 的覆盖如果

:<math>\bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha} \supseteq  Y </math> 。

== 拓撲學中覆蓋 ==

覆盖通常用在[[拓扑学]]的上下文中。如果集合 <math>X</math> 是[[拓扑空间]]，我们称 <math>C</math> 是'''开覆盖'''，如果它的每个成员都是[[开集]]（就是说每个 <math>U_\alpha</math> 都包含在 <math>T</math> 中，这里的 <math>T</math> 是 <math>X</math> 上的拓扑）。

如果 <math>C</math> 是 <math>X</math> 的覆盖，则 <math>C</math> 的'''子覆盖'''是 <math>C</math> 的仍覆盖 <math>X</math> 的子集。

<math>X</math> 的开覆盖被称为是'''局部有限'''的，如果对任意 <math>X</math> 的点<math>x</math> 都存在一个[[邻域]]，其只与这个覆盖中有限多个集合有交集。用符号来说，<math>C=\{U_\alpha\}</math> 是局部有限的，如果对于任何 <math>x \in X</math>，存在某个 <math>x</math> 的邻域 <math>N\left(x\right)</math> 使得集合
:<math>\left\{ \alpha \in A : U_{\alpha} \cap N(x) \neq \emptyset \right\}</math>
是有限的。

== 精細 ==

<math>X</math> 的覆盖 <math>C</math> 的'''精細'''（或稱'''加細'''）是 <math>X</math> 的新覆盖 <math>D</math> ，使得在 <math>D</math> 中的任意的一個集合，都包含在 <math>C</math> 的某个集合中。

用符号来说，有 覆盖 <math>D=\{V_\beta\}_{\beta\in B}</math> 、 <math>C=\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}</math> ，如果对任意的 <math>V_\beta</math> ，都存在某个 <math>U_\alpha</math> 使得 <math>V_\beta \subseteq U_\alpha</math>，我們則說 <math>D</math> 是覆盖 <math>C</math> 的精細。

所有子覆盖也是精細，反之不然。但是注意一般的说精細将比原始覆盖有更多的集合。

== 紧致性 ==

覆盖的这个词语经常用来定义与[[紧致性]]有关的拓扑性质。一个拓扑空间 ''X'' 被称为
* [[紧致空间|紧致]]的，如果所有开覆盖有有限子覆盖。
* [[林德勒夫空间|林德勒夫]]的，如果所有开覆盖都有[[可数集合|可数]]子覆盖。
* [[元紧致空间|元紧致]]的，如果所有开覆盖都有一个点有有限开精細。
* [[仿紧空间|仿紧致]]的，如果所有开覆盖允许局部有限、精細。

== 引用 ==
# {{cite book|title=Introduction to Toplogy|url=https://archive.org/details/introductiontoto00game|edition=Second Edition|author=Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene|publisher=Dover Publications|year=1999|isbn=0-486-40680-6|language=en}}
# {{cite book|title=General Topology|author=John L. Kelly|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|location=Princeton, NJ.|year=1955|language=en}}

[[Category:点集拓扑学|F]]