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在[[數學]]中，特別是[[代數學]]中的[[群論]]，'''西羅定理'''（{{lang-en|Sylow Theorems}}）是一系列關於[[有限群]]的定理，由挪威數學家[[彼得·盧德維格·梅德爾·西羅]]在1872年證明<ref>{{Cite journal |last=M. L. Sylow |date=1872 |title=Théorèmes sur les groupes de substitutions |url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01442913 |journal=Math. Ann. |doi=10.1007/BF01442913 |access-date=2024-05-17 |archive-date=2023-03-11 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230311135215/https://link.springer.com/article/10.1007/BF01442913 |dead-url=no }}</ref>。這些定理使得代數學家對有限群的結構有了更深入的瞭解，並對有限群的研究以及百年後的[[有限單群分類]]作出了重要貢獻。

西羅定理處理了[[拉格朗日定理 (群論)|拉格朗日定理]]的部份反例。拉格朗日定理表明如果 <math>H</math> 是 <math>G</math> 的子群，那麼子群<math>H</math>的[[階（群論）|階]] <math>|H|</math> 是 <math>|G|</math> 的因數；但是 <math>|G|</math> 的因數未必等於某個子群的階。西羅定理表明，<math>|G|</math>形如 <math>p^r</math> 的因數確實是一些子群的階，定理亦給出這種類型子群數目的相關訊息。

==定理敘述==

給定一個有限群 <math>G</math> ，通過[[質因數分解]]，可以把 <math>|G|</math> 表示成 <math>p^n \times m</math>的形式（並且 <math>m</math> 不被 <math>p</math> 整除）。如果 <math>G</math> 的子群 <math>H</math> 的[[階_(群論)|階]]是 <math>p</math> 的冪 <math>|H| = p^k</math> ， <math>k > 0</math> ，則 <math>H</math> 稱為一個 '''<math>p</math>-子群'''。'''西羅<math>p</math>-子群'''是最大的一類 <math>p</math>-子群，其定義為階等於 <math>p^n</math> 的子群。群 <math>G</math> 的西羅<math>p</math>-子群構成的集合一般記為 <math>\text{Syl}_p(G)</math> 。

西羅定理有三個部分：

# 對於所有介於 <math>1</math> 到 <math>n</math> 之間的正整數 <math>r</math> ， <math>G</math> 存在階為 <math>p^r</math> 的子群。
# <math>G</math> 中的所有西羅 <math>p</math>-子群互相[[共軛類|共軛]]。
# <math>G</math> 中西羅 <math>p</math>-子群的個數是 <math>m</math> 的因數、並且具有 <math>kp + 1</math> 的形式（模 <math>p</math> 餘 <math>1</math>）。

=== 无限群的西罗定理 ===

無限群中的西羅<math>p</math>-子群為一個在所有群內之<math>p</math>-子群中，以內含關係為序，極大的<math>p</math>-子群。可用[[佐恩引理]]證明這類子群存在。

'''定理'''：若 <math>K</math> 為一個 <math>G</math> 的西羅<math>p</math>-子群，且 <math>n_p = |Cl(K)|</math> 有限，則每一個西羅<math>p</math>-子群都與<math>K</math>共軛，且 <math>n_p \equiv 1 (mod p)</math> ，其中 <math>Cl(K)</math> 表示 <math>K</math> 的共軛類。

==應用例子==
設<math>G</math>為一個階為<math>15 = 3 \cdot 5</math>的群。令<math>n_3</math>為西羅<math>3</math>子群的數量，則<math>n_3</math>整<math>5</math>，且模 <math>3</math> 餘 <math>1</math>。滿足上述條件的值只有1；因此，<math>G</math>只有一個階為<math>3</math>的子群，且其必須為[[正規子群]]（因為其沒有其他的共軛）。類似地，<math>n_5</math>整除<math>3</math>，且<math>n_5 \equiv 1 \mod 5</math>；所以<math>G</math>僅有一個階為<math>5</math>的正規子群。由於3和5互質，此兩個子群的交集為平凡群{e}，所以<math>G</math>必須為[[循環群]]。因此，只存在一個階為15的群（以[[群同構]]來區分），記為<math>\mathbb{Z} / 15\mathbb{Z}</math>。

舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個階為<math>350</math>的[[簡單群]]。若<math>|G| = 350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7</math>，則<math>n_5</math>必須整除<math>14 = 2 \cdot 7</math>，且<math>n_5 \equiv 1 \mod 5</math>。由此可知<math>n_5 = 1</math>（因為6和11都不整除14），所以<math>G</math>必然會有一個階為<math>5^2</math>的正規子群，故不可能為簡單群。

==西羅定理的證明==
西羅定理的證明利用了[[群作用]]的許多概念。群 <math>G</math> 會以許多種方式作用在其自身或其<math>p</math>-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。下面用 <math>a \mid b</math> 表示「 <math>a</math> 整除 <math>b</math> 」，而 <math>a \nmid b</math> 表示「 <math>a</math> 不整除 <math>b</math> 」。

===第一西羅定理===
 '''定理：'''一個元素個數 <math>|G|</math> 可以被一[[質數]] <math>p</math> 的次方 <math>p^k</math> 整除的有限群 <math>G</math> 會有一個元素個數為 <math>p^k</math> 的子群。

證明：設 <math>|G| = p^k m</math> ， <math>p^r \mid m</math> 且 <math>p^{r+1} \nmid m</math> 。令 <math>\Omega</math> 為 <math>G</math> 中元素个数為 <math>p^k</math> 的子集所組成的集合，有 <math>|\Omega| = \binom{p^km}{p^k}</math> 及 <math>p^{r+1} \nmid \binom{p^km}{p^k}</math> ，其中 <math>\binom{p^km}{p^k}</math> 是一個[[二項式係數]]，此處我們考慮它在[[組合數學]]中的意義，即「從 <math>p^{km}</math> 個相異元素選出 <math>p^k</math> 個元素的方法數」，這等價於元素個數為 <math>p^k m</math> 的集合 <math>G</math> 中元素个数為 <math>p^k</math> 的子集的個數，因此等於 <math>|\Omega|</math>。

令 <math>G</math> 以左乘積[[群作用|作用]]於 <math>\Omega</math> 上。基於 <math>r</math> 的定義，存在一個於 <math>\Omega</math> 內的子集 <math>A</math> ，使得其[[群作用#軌道|軌道]] <math>\Theta = A^G</math> 的元素個數不被 <math>p^{r+1}</math> 整除， <math>p^{r+1} \nmid |\Theta|</math>。

這裡有 <math>|\Theta| = |A^G| = [G : G_A] = |G| / |G_A|</math> ，其中 <math>G_A</math> 代表集合 <math>A</math> 的[[群作用#穩定子群|穩定子子群]]。因此 <math>p^k \mid |G_A|</math> 故 <math>p^k \leq |G_A|</math> 。注意在 <math>G_A</math> 的作用下之於 <math>A</math> 內的兩個元素 <math>a</math> 和 <math>ga</math> 可能不同，所以 <math>|A| \geq |G_A|</math> 。由上述 <math>p^k \leq |G_A|</math> 和 <math>p^k = |A| \geq |G_A|</math> 兩結論可知 <math>|G_A| = p^k</math> 。 <math>G_A</math> 即為所求的群。  <math>\square</math>

該定理一個平凡的推論是，如果質數 <math>p</math> 整除群 <math>G</math> 的階，那麼 <math>G</math> 有至少一個西羅 <math>p</math>-子群。

===第二西羅定理===
 '''定理：'''若''H''是''G''的[[子群]]且|''H''|=''p<sup>s</sup>''，以及''P''為''G''的p-西羅子群，則存在一個在''G''內的元素''a''會使得''a''H''a<sup>-1</sup>''為''P''的子群。特別地是，所有''G''的西羅''p''-子群都會[[共軛類|共軛]]（且因此[[同構]]）於另一個，即若''H''和''K''為''G''的西羅''p''-子群，則存在一個''G''內的元素''g''會使得''g''<sup>&minus;1</sup>''Hg'' = ''K''。

先證明一個有用的引理：

'''引理''': 設''G''為一個有限''p''-群，將''G''作用於一個有限集合&Omega;上，及令&Omega;<sub>0</sub>為在''G''的作用下為固定之&Omega;內的點所組成之集合。然後可知|&Omega;| &equiv; |&Omega;<sub>0</sub>| mod ''p''。

證明：將&Omega;寫成在''G''下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在&Omega;內的元素''x''若在''G''的作用下不固定的話，其將會在其目為|''G''|/|''G<sub>x</sub>''|之軌道上（其中''G<sub>x</sub>''為[[群作用|穩定子]]），此目依題目的假設會是''p''的倍數（不可能為1，因為其目為1的軌道即為在''G''的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。

證明：設&Omega;為''G''內''P''的左[[陪集]]所組成的集合，及''H''以左乘積作用在&Omega;上。應用''H''於&Omega;上的引理，可知|&Omega;<sub>0</sub>| &equiv; |&Omega;| = [''G'' : ''P''] mod ''p''。由定義可知''p'' <math>\nmid</math> [''G'' : ''P'']，所以''p'' <math>\nmid</math> |&Omega;<sub>0</sub>|，且因為|&Omega;<sub>0</sub>| &ne; 0，故會存在一些''gP'' &isin; &Omega;<sub>0</sub>。因此對每個於''H''內的元素''h''，''hgP'' = ''gP''，故''g''<sup>&minus;1</sup>''hgP'' = ''P''且''g''<sup>&minus;1</sup>''hg'' &isin; ''P''，且因此''h'' &isin; ''gPg''<sup>&minus;1</sup>，故''H''會包含於某些''G''內元素''g''之''gPg''<sup>&minus;1</sup>內。若''H''為一個西羅''p''-子群，則|''H''| = |''P''| = |''gPg''<sup>&minus;1</sup>|，因此對某些在''G''內的''g''，''H'' = ''gPg''<sup>&minus;1</sup>。

===第三西羅定理===
 '''定理：'''設''q''為一有限群''G''的任一西羅''p''-子群的目，則''n<sub>p</sub>'' | |''G''|/''q''且''n<sub>p</sub>'' &equiv; 1 mod ''p''。

證明：依定理2，''n<sub>p</sub>'' = [''G'' : ''N''<sub>''G''</sub>(''P'')]，其中''P''為任一個子群且''N''<sub>''G''</sub>(''P'')為於''G''內''P''的[[正規化子]]，可知此數為|''G''|/''q''的因數。令&Omega;為所有''G''的西羅''p''-子群所組成的集合，且''P''以共軛作用於&Omega;上。設''Q'' &isin; &Omega;<sub>0</sub>並可知對所有''x'' &isin; ''P''，''Q'' = ''xQx''<sup>&minus;1</sup>，因此''P'' &sube; ''N''<sub>''G''</sub>(''Q'')。依定理2，''P''和''Q''會於''N''<sub>''G''</sub>(''Q'')內共軛，尤其是''Q''會在''N''<sub>''G''</sub>(''Q'')為正規，故可知''P'' = ''Q''。由上可知&Omega;<sub>0</sub> = {''P''}，因此由引理可知|&Omega;| &equiv; |&Omega;<sub>0</sub>| = 1 mod ''p''。

==算法==
由一個給定的群中得出一個西羅子群是[[計算群論]]中一個很重要的問題。在[[置換群]]裡，已由William Kantor證明出一個西羅''p''-子群可以在[[多項式時間]]內被找到。

==參考資料==
*Florian Kammüller and Lawrence C. Paulson. "A Formal Proof of Sylow's Theorem: An Experiment in Abstract Algebra with Isabelle HOL". University of Cambridge, UK. 2000. [https://web.archive.org/web/20060103223152/http://www.cl.cam.ac.uk/users/lcp/papers/Kammueller/sylow.pdf link]
*H. Wielandt. "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen".  ''Archiv der Mathematik'', 10:401-402, 1959.
*

==注釋==
<span style="font-size:smaller;"><references /></span><references /><references /><references />

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