查看“︁西爾維斯特-高洛伊定理”︁的源代码

{{Eastern name order|匈牙利语|匈牙利人名}}
'''西爾維斯特–高洛伊定理'''（Sylvester–Gallai theorem）說明若在[[平面 (数学)|平面]]上有[[有限]]數目的[[點]]，點的數目多於2，如果过任意两点的直线都必过第三点，则所有的点[[共線 (幾何)|共线]]。（等价于若平面内所有点不全共线，则必有一条直线恰好过两点。）

這個定理在[[無限]]點的情況並不成立，可以考慮[[格點]]<math>{\mathbb Z} \times {\mathbb Z}</math>。

== 證明 ==
[[File:Tibor gallai2.svg|right]]
以下使用[[無窮遞降法]]：

# 在平面上有有限多點，若它們都[[共線 (幾何)|共線]]，那我們就找到想要的東西；若非，定義一條「連線」為一條連起來至少有兩點的線。設I為一條連線，因為不是所有點都[[共線 (幾何)|共線]]，至少有一點P不屬於I。
# 若I不是有剛好兩點，I便至少有三點，稱為A,B,C。不失一般性，設B在A和C之間，因為<math>\angle ABP + \angle CBP = \pi</math>，所以兩隻角不可能同時是鈍角。不失一般性設<math>\angle ABP</math>不是鈍角，而是銳角或直角。
# 設連結C和P的線為m，m是不包括B的連線，而且B和m的距離比P和I的距離小。
# 以B和m取代第二步的P和I。這個動作不可能無窮次重複，因為若能無窮次重複，連線和某一不在連線上的點距離便會得出一個無窮遞降的序列，但只有有限個點和有限條連線，這是不可能的。因此，至少有一條線剛好有兩點。

== 推廣 ==

[[File:Few-ordinary-lines.png|thumb|360px|Dirac的猜想的反例。]]

這個定理說明了在所有點'''至少'''有一條線有剛好兩點。在甚麼情況下，'''只有'''一條線有剛好兩點呢？沒有的這樣的例子。Dirac猜想在平面上若有''n''點，則有至少有''n''/2條線有剛好兩點。<ref>{{cite journal
  | author = Dirac, G.
  | authorlink = Gabriel Andrew Dirac
  | title = Collinearity properties of sets of points
  | journal = Quart. J. Math.
  | year = 1951
  | volume = 2
  | pages = 221–227}}
</ref>

可惜這個猜想是不對的。但截至2006年，已知有兩個反例：
* 一個等邊三角形的三個頂點、各邊的中點和三角形中心，共有7點，但只有三條線有剛好兩點。
* 兩個大小相等的正五邊形，其中一邊重疊。取這兩個五邊形的所有頂點（8點），加上重疊邊的中點（1點），再加上取四組平行線上的[[無限遠點]]（4點）。該四組平行線分別是跟重疊邊成0°、90°、+36°和-36°的。在經過這13點的線中，只有6條線有剛好兩點。<ref>{{cite journal
  | author = Crowe, D. W.; McKee, T. A.
  | title = Sylvester's problem on collinear points
  | journal = [[Mathematics Magazine]]
  | volume = 41
  | issue = 1
  | year = 1968
  | pages = 30–34
  | url = http://www.jstor.org/stable/2687957
  | access-date = 2016-05-02
  | archive-date = 2016-10-05
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20161005022701/https://www.jstor.org/stable/2687957
  | dead-url = no
  }}</ref>

雖然Dirac的猜想不對，但有較弱的結果：在''n''點中，至少有<math>\lceil \frac{6n}{13} \rceil</math>條線剛好有兩點通過。<ref>{{cite journal
  | author = Csima, J.; Sawyer, E.
  | title = There exist 6''n''/13 ordinary points
  | url = https://archive.org/details/sim_discrete-computational-geometry_1993_9_2/page/187
  | journal = Discrete & Computational Geometry
  | year = 1993
  | volume = 9
  | pages = 187–202
  | doi = 10.1007/BF02189318}}</ref>

Beck定理則說明了，存在常數C,K，使以下其中一個論述為真：
* 有一條線有''n''/C點。
* 至少有''n''<sup>2</sup>/K條線，線上至少有兩點。
== 歷史 ==
1893年，[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特]]將此問題提出<ref>{{cite journal
  | author = Sylvester, J. J.
  | authorlink = 詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特
  | title = Mathematical question 11851
  | journal = Educational Times
  | volume = 59
  | year = 1893
  | pages = 98}}</ref>。[[艾狄胥·帕爾]]也曾在1943年獨立提出這個定理。<ref>{{cite journal
  | author = Erdős, P.
  | authorlink = 保羅·艾狄胥
  | title = Problem 4065
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | volume = 50
  | year = 1943
  | pages = 65
  | url = http://www.jstor.org/stable/2304011
  | access-date = 2016-05-02
  | archive-date = 2019-12-20
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20191220022217/https://www.jstor.org/stable/2304011
  | dead-url = no
  }}</ref>1944年{{le|高洛伊·蒂博爾|Tibor Gallai}}發表了證明<ref>{{cite journal
  | author = Steinberg, R.; Buck, R. C.; Grünwald, T. ([[Tibor Gallai]]); Steenrod, N. E.
  | title = Three point collinearity (solution to problem 4065)
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | volume = 51
  | year = 1944
  | pages = 169–171
  | url = http://www.jstor.org/stable/2303021
  | access-date = 2016-05-02
  | archive-date = 2019-12-10
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20191210211727/https://www.jstor.org/stable/2303021
  | dead-url = no
  }}</ref>。
不過，1940年E. Melchior早已證明了。<ref>{{cite journal
  | author = Melchior, E.
  | title = Über Vielseite der projektiven Ebene
  | journal = Deutsche Math.
  | volume = 5
  | year = 1940
  | pages = 461–475}}
</ref>

== 參考 ==

<references />

* {{cite journal
  | author = Borwein, P.; Moser, W. O. J.
  | title = A survey of Sylvester's problem and its generalizations
  | url = https://archive.org/details/sim_aequationes-mathematicae_1990_40_1/page/n112
  | journal = Aequationes Mathematicae
  | volume = 40
  | issue = 1
  | year = 1990
  | doi = 10.1007/BF02112289
  | pages = 111–135}}
* {{cite journal
  | author = Kelly, L. M.; Moser, W. O. J.
  | title = On the number of ordinary lines determined by ''n'' points
  | url = https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1958_10_2/page/210
  | journal = Canad. J. Math.
  | volume = 10
  | year = 1958
  | pages = 210–219}}
* {{cite journal
  | author = Mukhopadhyay, A.; Agrawal, A.; Hosabettu, R. M.
  | title = On the ordinary line problem in computational geometry
  | journal = Nordic Journal of Computing
  | volume = 4
  | issue = 4
  | year = 1997
  | pages = 330–341}}

[[Category:離散幾何]]
[[Category:平面几何]]
[[Category:几何定理|X]]