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'''西爾維斯特方程'''（{{Lang-en|Sylvester equation}}）是[[控制理论]]中的[[矩阵]][[方程]]，形式如下<ref>不過也常寫成等效的''AX-XB=C''.</ref>：
:<math>A X + X B = C.</math>
其中<math>A_{n\times n}</math>、<math>B_{m\times m}</math>及<math>C_{n\times m}</math>是已知矩阵，n与m可以相等。方程中所有矩陣的係數都是[[复数 (数学) |复数]]。西爾維斯特方程有唯一解X的充要條件是''A''与''-B''沒有共同的特徵值。

''AX''+''XB''=''C''也可以視為是（可能無窮維中）[[巴拿赫空间]]中[[有界算子]]的方程。此情形下，唯一解''X''的充份必要條件幾乎相同：唯一解''X''的充份必要條件是''A''和''-B''的[[谱 (泛函分析)|谱]][[不交集|不互交]]<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref>。
==解的存在及唯一==
利用[[克罗内克积]]以及{{le|向量化|Vectorization (mathematics)|向量化量子}}<math>\operatorname{vec}</math>，可以改寫西爾維斯特方程為
:<math> (I_m \otimes A +  B^T \otimes I_n) \operatorname{vec}X = \operatorname{vec}C,</math>
其中<math>I_k</math>為<math>k \times k</math>[[單位矩陣]]。在此形式下，可以將問題改為<math>mn \times mn</math>維的[[線性系統]]<ref>不過若是要算其數值解，不建議寫成此形式，因為求解的計算量很高，而且可能會是[[条件数|病態]]方程</ref>。

;命题

假定複數的<math> n\times n</math>矩陣<math>A</math>和<math>B</math>，西爾維斯特方程針對任意<math>C</math>有唯一解<math>X</math>，若且唯
若<math>A</math>和<math>-B</math>沒有共同的特徵值。

;證明

考慮線性轉換<math>S:M_n\rightarrow M_n</math>，<math>X\mapsto AX+XB</math>.

(i)假設<math>A</math>和<math>-B</math>沒有共同的特徵值，則其特徵方程式  <math>f(z)</math>和<math>g(z)</math>的最大公因式為<math>1</math>，因此存在複數多項式<math>p(z)</math>和<math>q(z)</math>，使得<math>p(z)f(z)+q(z)g(z)=1</math>。依照Cayley–Hamilton定理，<math>f(A)=0=g(-B)</math>；因此<math>g(A)q(A)=I</math>。令<math>X</math>為<math>S(X)=0</math>的解，則<math> AX=-XB</math>，重複上述作法，可得<math>X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0</math>。因此依照[[秩－零化度定理]]，<math>S</math>是可逆的，因此針對所有的<math>C</math>都存在唯一的解<math>X</math>。

(ii) 相對的，若假設<math>s</math>是<math>A</math>和<math>-B</math>的共同特徵值，則<math>\bar{s}</math>也是<math>A^H</math>的特徵值。存在非零向量 <math>v</math>和<math>w</math>使得<math>A^Hw=\bar{s}w</math>以及<math>Bv=-sv</math>。選擇<math>C</math>使得<math>Cv=w</math>，則<math>AX+XB=C</math>沒有解<math>X</math>，考虑 <math> \langle(AX+XB)v,w\rangle=\langle Cv,w\rangle=\langle w,w\rangle</math>，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 <math> \langle(AX+XB)v,w\rangle=\langle Xv,A^Hw\rangle-s\langle Xv,w\rangle=s\langle Xv,w\rangle-s\langle Xv,w\rangle=0</math>。

==Roth消去法則==

假設二個大小分別為''n''和''m''的方陣''A''和''B''，以及大小為''n''乘''m''的矩陣''C''，則可以確認以下二個大小為''n+m''的方陣<math> \begin{bmatrix} A & C \\ 0 & B \end{bmatrix}</math>和<math>\begin{bmatrix} A & 0 \\0&B \end{bmatrix}</math>是否彼此[[相似矩陣|相似]]。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣''X''使得''AX''-''XB''=''C''，換句話說，''X''為西爾維斯特方程的解，這稱為'''Roth消去法則'''（Roth's removal rule）<ref>{{cite journal|last1=Gerrish|first1=F|last2=Ward|first2=A.G.B|title=Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1998-11_82_495/page/423|journal=The Mathematical Gazette|date=Nov 1998|volume=82|issue=495|pages=423–430|doi=10.2307/3619888}}</ref>。

可以用以下方式檢查，若''AX''-''XB''=''C''，則 
:<math>\begin{bmatrix}I_n & X \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A&C\\0&B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_n & -X \\ 0& I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&0\\0&B \end{bmatrix}.</math>
Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中<ref>Bhatia and Rosenthal, p.3</ref>。

==數值解==
西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用{{le|QR演算法|QR algorithm}}將矩陣<math>A</math>和矩陣<math>B</math>轉換為[[舒尔分解|舒尔形式]]，再用逆向取代法求解[[三角矩阵]]。此演算法若用[[LAPACK]]計算，或是[[GNU Octave]]的<code>lyap</code>函數計算<ref>{{Cite web |url=https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html |title=存档副本 |access-date=2017-12-27 |archive-date=2018-11-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20181114230140/https://octave.sourceforge.io/control/function/lyap.html |dead-url=no }}</ref>，計算複雜度是[[大O符号|<math>\mathcal{O}(n^3)</math>]]個數學運算{{Citation needed|date=November 2015}}。也可以參考其中的<code>sylvester</code>函數<ref>{{Cite web |url=https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html |title=存档副本 |access-date=2017-12-27 |archive-date=2018-02-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180212154312/http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Functions-of-a-Matrix.html |dead-url=no }}</ref><ref>The <code>syl</code> command is deprecated since GNU Octave Version 4.0</ref>。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解<ref>{{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=IEEE |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572}}</ref>。

==相關條目==
*[[李亞普諾夫方程]]
*[[代數Riccati方程]]

==腳註==
{{reflist}}

==參考資料==
* {{cite journal |first=J. |last=Sylvester |title=Sur l'equations en matrices px = xq |journal=C. R. Acad. Sci. Paris |volume=99 |year=1884 |issue=2 |pages=67–71, 115–116 }}
* {{cite journal |first=R. H. |last=Bartels |first2=G. W. |last2=Stewart |title=Solution of the matrix equation AX +XB = C |journal=Comm. ACM |volume=15 |year=1972 |issue=9 |pages=820–826 |doi=10.1145/361573.361582 }}
* {{cite journal |first=R. |last=Bhatia |first2=P. |last2=Rosenthal |title=How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ? |journal=Bull. London Math. Soc. |volume=29 |issue=1 |year=1997 |pages=1–21 |doi=10.1112/S0024609396001828 }}
* {{cite journal |first=S.-G. |last=Lee |first2=Q.-P. |last2=Vu |title=Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum |journal=Linear Algebra Appl. |volume=435 |year=2011 |issue=9 |pages=2097–2109 |doi=10.1016/j.laa.2010.09.034 }}
* {{cite journal |first=Q. |last=Wei |first2=N.  |last2=Dobigeon |first3=J.-Y.  |last3=Tourneret |title=Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation|journal=IEEE Transactions on Image Processing |volume=24 |year=2015 |issue=11 |pages=4109–4121 |doi=10.1109/TIP.2015.2458572}}
* {{cite book|last1=Birkhoff and MacLane|title=A survey of Modern Algebra|year=1965|url=https://archive.org/details/surveyofmodernal00birk|publisher=Macmillan|pages=[https://archive.org/details/surveyofmodernal00birk/page/213 213], 299}}
[[Category:矩陣]]
[[Category:控制理论]]