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'''西爾維斯特數列'''的定義為<math>s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i</math>。當<math>n=0</math>，由於空積（一個[[空集]]內所有元素的積）是<math>1</math>，所以<math>s_0 = 2</math>，之後是<math>3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443...</math>（[[OEIS:A000058]]）

這亦可以用[[遞歸]]定義：<math>s_i = s_{i-1} ( s_{i-1} - 1 ) + 1, s_0 = 2</math>。

以[[數學歸納法]]可證明<math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = \frac{s_j-2}{s_j-1}</math>。

「求<math>k</math>個埃及分數，使它們之和最接近<math>1</math>而又小於<math>1</math>。」答案就是這數列中首<math>k</math>個數的倒數之和。[http://arxiv.org/abs/math.CA/0502247]因此，西爾維斯特數列又可以[[貪婪算法]]來定義：每步選取的一個分母，使得對應的[[埃及分數]]再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為<math>s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor</math>，其中E約為1.264。這和[[費馬數]]很相似。

這數列以[[詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特]]命名。

== 和為有理數且快速增長的唯一性 ==
若有數列 <math>a_n \ge a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1</math> 且 <math>\lim_{k \to \infty} \sum_{i=0}^{k} \frac1{a_i} \in \mathbb{Q}</math>，則必存在<math>N</math>使得對於<math>i > N</math>，<math>a_n = a^2_{n-1} - a_{n-1} + 1</math>。<ref>Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.</ref>

[[保羅·艾狄胥]]猜想上面的不等式可以改為更弱的條件<math>\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1</math>。
== 質數 ==
顯然兩個相異的西爾維斯特數必定[[互質]]。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。<ref>Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0. 
</ref>現時所知的西爾維斯特數中，都是[[無平方數因數的數]]，但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[http://arxiv.org/abs/math.NT/0612415]

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== 參考 ==
<references/>

[[Category:整數數列|X]]