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在[[數學]]上，特別是[[超越數論]]和[[丟番圖逼近]]的研究中，'''西格爾引理'''（Siegel's lemma）指的是從[[輔助函數]]的構造中得到的[[線性方程]]的解的界限。這些多項式的存在性由[[阿克塞爾·圖厄]]所證明：<ref>{{cite journal|last = Thue|first = Axel|authorlink = Axel Thue|title = Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen|journal = [[Crelle's Journal|J. Reine Angew. Math.]]|volume=1909|year = 1909|issue = 135|pages = 284–305|doi = 10.1515/crll.1909.135.284|s2cid = 125903243}}</ref>圖厄的證明用到了[[鴿巢原理]]，[[卡爾·路德维希·西格爾]]在1929年出版此引理。<ref>{{cite journal|last = Siegel|first = Carl Ludwig|authorlink = Carl Ludwig Siegel|title = Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen|journal = Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl.|year = 1929|pages = 41–69}}, reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213</ref>這是一個[[線性方程組]]方面純粹的[[存在性定理]]。

近年來，西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。<ref>
{{cite journal|last = Bombieri|first = E.|authorlink = Enrico Bombieri|author2=Mueller, J. |title = On effective measures of irrationality for <math>{\scriptscriptstyle\sqrt[r]{a/b}}</math> and related numbers|journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume = 342|year = 1983|pages = 173–196}}</ref>

==陳述==
設有一組有<math>M</math>個方程、<math>N</math>個未知數，且<math>N > M</math>的方程組，其中的方程式有著如下的形式：

:<math>a_{11} X_1 + \cdots+ a_{1N} X_N = 0</math>

:<math>\cdots</math>

:<math>a_{M1} X_1 +\cdots+ a_{MN} X_N = 0</math>

在這些方程組的係數為有理數、不全為零，且以<math>B</math>為界的狀況下，這方程組有如下的解：

:<math>(X_1, X_2, \dots, X_N)</math>

其中的<math>X</math>全為有理數、不全為0，且上下界如下：

:<math>(NB)^{M/(N-M)}</math><ref>{{harv|Hindry|Silverman|2000}} Lemma D.4.1, page 316.</ref>

Bombieri及Vaaler在1983年對<math>X</math>給出了如下更強的界限（{{harvtxt|Bombieri|Vaaler|1983}}）：
:<math>\max|X_j| \,\le \left(D^{-1}\sqrt{\det(AA^T)}\right)^{\!1/(N-M)}</math>
其中<math>D</math>是[[矩陣]]<math>A</math>的<math>M\times M</math>[[子式和餘子式|子式]]的[[最大公因數]]，而<math>A^T</math>則是其[[轉置矩陣]]。他們的證明涉及了將[[鴿巢原理]]以[[幾何數論]]的技巧取代的做法。

==參見==
*[[丟番圖逼近]]

==參考資料==
{{reflist|30em}}

*{{Cite journal|last1 = Bombieri|first1 = E.|last2= Vaaler|first2= J.|title = On Siegel's lemma|url = https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1983-07_73_1/page/11|journal = Inventiones Mathematicae|volume = 73|issue = 1|year=1983|pages = 11–32|doi = 10.1007/BF01393823|bibcode = 1983InMat..73...11B|s2cid = 121274024}}
*{{Cite book | last1=Hindry | first1=Marc | author1-link=Marc Hindry | last2=Silverman | first2=Joseph H. | author2-link=Joseph H. Silverman | title=Diophantine geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98981-5 | mr=1745599 | year=2000 | volume=201 }}
* [[Wolfgang M. Schmidt]]. ''Diophantine approximation''. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125-128 and 283–285)
* Wolfgang M. Schmidt. "Chapter I: Siegel's Lemma and Heights" (pages 1–33). ''Diophantine approximations and Diophantine equations'', Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.

[[Category:引理]]
[[Category:丟番圖逼近]]
[[Category:丟番圖幾何]]