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'''西尔维斯特矩阵'''，是与两个[[多项式]]相关的[[矩阵]]，从这个矩阵可以知道这两个多项式的一些信息。

== 定义 ==
设''p''和''q''为两个多项式，次数分别为''m''和''n''。因此：
:<math>p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.</math>
于是，与''p''和''q''相关的西尔维斯特矩阵，就是通过以下方法得到的矩阵<math>(n+m)\times(n+m)</math>：
* 第一行为：
:<math>\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.</math>
* 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
* 下面的(n-2)行也是用这种方法得出，每次都往右移一列。
* 第(n+1)行为：
:<math>\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.</math>
* 余下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我们设''m''=4和''n''=3，则矩阵为：
:<math>S_{p,q}=\begin{pmatrix} 
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\
0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\
0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\
q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\
\end{pmatrix}.</math>

== 应用 ==
西尔维斯特矩阵用于[[交换代数]]中，例如测试两个多项式是否有一个（非常数）公因式。确实，在这种情况下，相关的西尔维斯特矩阵的[[行列式]]（称为两个多项式的[[结式]]）等于零。反过来也成立。

以下线性方程组的解
:<math>{S_{p,q}}^\mathrm{T}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math>
其中<math>x</math>是大小为<math>n</math>的向量，<math>y</math>是大小为<math>m</math>的向量，由满足下式的多项式对<math>x, y</math>（次数分别为<math>n-1</math>和<math>m-1</math>）的系数向量构成：
:<math>x \cdot p + y \cdot q = 1</math>
这就是说，西尔维斯特矩阵的转置的[[核 (代数)|核]]给出了[[裴蜀定理|裴蜀方程]]的所有解，其中<math>\deg x < \deg q</math>且<math>\deg y < \deg p</math>。

这样，西尔维斯特矩阵的[[矩阵的秩|秩]]决定了<math>p</math>和<math>q</math>的[[最大公因式]]的次数：
:<math>\deg(\gcd(p,q)) = m+n-\mathrm{rank}~S_{p,q}</math>

== 参考文献 ==
* {{mathworld|urlname=SylvesterMatrix|title = Sylvester Matrix}}

[[Category:矩阵]]
[[Category:多项式]]