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[[File:Pedal line illustration.svg|right|thumb|250px|藍線(LM)為三角形 {{mvar|ABC}} 關於其外接圓上點 {{mvar|P}} 的西姆松線]]

'''西姆松定理'''（或譯'''西摩松定理'''、'''西姆森定理'''）是[[幾何學]]中的一個[[定理]]，此定理描述：在平面中，給定一個[[三角形]] <math>ABC</math>，以及 <math>\triangle ABC</math> [[外接圓]]上的一點<math>P</math>。則 <math>P</math> 分別對[[直線]] <math>\overleftrightarrow{AB}</math>、<math>\overleftrightarrow{BC}</math>、<math>\overleftrightarrow{CA}</math> 作的三個垂足（右圖中的 <math>N</math>、<math>L</math>、<math>M</math>）會[[共線 (幾何)|共線]]。

上述中的直線 <math>\overleftrightarrow{MNL}</math> 稱為 <math>\triangle ABC</math> 關於 <math>P</math> 點的'''西姆松線（{{lang-en|''Simson line''}}）'''，或譯'''西摩松線'''、'''西姆森線'''。

===逆定理===
'''西姆松定理'''的[[逆定理|逆敘述]]也是正確的，其描述：給定平面中的 <math>\triangle ABC</math> 及一點 <math>P</math>。若 <math>P</math> 對 <math>\triangle ABC</math> 三邊延長線的三個垂足共線，則 <math>P</math> 在 <math>\triangle ABC</math> 的外接圓上。

===相關性質===
* 令 <math>\triangle ABC</math> 的垂心為H。則 <math>\triangle ABC</math> 關於 <math>P</math> 的西姆松線和 <math>\overline{PH}</math> 的交點為 <math>\overline{PH}</math> 的中點，且此中點在[[九點圓]]上。
* 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
* 若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

===西姆松定理與西姆松的關係===
'''西姆松定理'''命名自[[蘇格蘭]][[數學家]] [[Robert Simson]]，然而西姆松是被誤認為定理的貢獻者<ref>{{cite journal |author1=THE WRITER OF THE NOTICE |title=Simson's Line |journal=Nature |date=30 October 1884 |doi=10.1038/030635a0 |url=https://rdcu.be/djm8G |accessdate=2023-08-13}}</ref>，此定理實則由另一位蘇格蘭數學家[[威廉·華萊士 (數學家)|威廉·華萊士]]所發表<ref>{{cite web|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/Biographies/Wallace.html|title=William Wallace|work=MacTutor History of Mathematics archive}}</ref>。

==证明==
如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆，则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

==参见==
*[[外接圓]]
*[[九点圆]]
*[[垂足三角形]]


==外部連結==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml cut-the-knot網站上的證明] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Simpson.shtml |date=20210426011941 }}
* [http://agutie.homestead.com/files/simsontheorem1.html 證明（flash）] {{Wayback|url=http://agutie.homestead.com/files/simsontheorem1.html |date=20220815211011 }}

==參考資料==

[[Category:三角形几何]]
[[Category:几何定理|X]]