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[[File:Complex polygon.svg|thumb|具有自我相交邊界的複雜[[五邊形]]，是複雜多邊形的一個例子]]
'''複雜多邊形'''是指[[多邊形]]的一種分類。
指具有邊自我相交或者有破洞的多邊形，或者說其邊除了相鄰邊在頂點處相交之外，也存在其他互相相交的邊。
這個概念與[[簡單多邊形]]相對。
複雜多邊形的英語為Complex polygon，這個詞彙則有多種的定義，一種是上述複雜多邊形的定義，另一種是位於[[複數 (數學)|複數]][[希爾伯特空間|空間]]的[[複多邊形]]<ref group="註">此處的complex polygon中，complex代表[[複數 (數學)|複數]]（Complex Number、<math>a + bi</math>），因此稱為'''複多邊形'''或'''複數空間多邊形'''（簡稱'''複數多邊形'''）。然而在[[计算机图形学]]中，
也有一個稱為complex polygon的概念，但是在這種情況下，complex並不意味著「複數域上的結構」，因此不會將其稱為複多邊形。
一般數學或幾何學也有這種概念，尤其在討論多邊形是否存在自相交的情況，在這種情況下complex polygon應被稱為複雜多邊形，這意味著該多邊形存在著自相交的情況，即simple（非簡單閉合曲線），因此稱為complex（意味著複雜或不簡單）。
而又有一類多邊形稱為'''複合多邊形'''，其表示多個多邊形組成的複合圖形，其名稱不應與'''複多邊形'''和'''複雜多邊形'''混淆。
</ref>。

複雜多邊形這個概念常用於[[計算機科學]]中，因為複雜多邊形的填色相較於簡單多邊形複雜得多，需要使用特殊的演算法才能完成對複雜多邊形的內部上色。

在[[複雜多邊形]]中，自相交偶數次的部份算做多邊形的外部，<ref name="Paul Bourke 1997"/>以五角星為例，五角星中央交出的五邊形不算做五角星的內部，換句話說，即是此複雜多邊形的孔洞。<ref name="Rae Earnshaw, Brian Wyvill 2012">Rae Earnshaw, Brian Wyvill (Ed); New Advances in Computer Graphics: Proceedings of CG International ’89, Springer, 2012, page 654.</ref>

== 定義 ==
在數學上，複雜多邊形定義為具有邊自我相交或者有破洞的多邊形。而在[[計算機科學]]中，定義稍有不同。在計算機科學中，複雜多邊形除了邊自我相交外，還代表著該多邊形可能由多個封閉的邊界組成的多邊形，其中一個邊界會形成該多邊形主要邊界的孔洞。<ref name="Rae Earnshaw, Brian Wyvill 2012"/>

除此之外，在計算機科學中的複雜多邊形也會考慮邊自我相交的情況<ref name="Paul Bourke 1997">{{cite web | author=Paul Bourke | url=http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/ | title=Polygons and meshes:Surface (polygonal) Simplification | year=1997 | accessdate=2016-05 | archive-date=2019-12-31 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191231162256/http://paulbourke.net/geometry/polygonmesh/ | dead-url=no }}</ref>，此時對於這個多邊形頂點數的計算，僅會計算邊的端點，不會計算邊與邊相交所產生的頂點。

== 性質 ==
涉及到有界區域的積分和閉合線積分的公式在複雜多邊形區域「由內而外」部分以次數計算內外部時（最內部為實際上的內部，向外遇到一個邊界時視為外部，再遇到一個邊界時視為內部以此類推）仍然適用。

複雜多邊形的孔洞可以來自自相交所形成的區域，<ref name="article galetzka2012simple">{{cite journal
  |title=A simple and correct even-odd algorithm for the point-in-polygon problem for complex polygons
  |url=https://arxiv.org/pdf/1207.3502.pdf
  |author=Galetzka, Michael and Glauner, Patrick O
  |journal=arXiv preprint arXiv:1207.3502
  |year=2012
  |access-date=2023-11-18
  |archive-date=2023-10-17
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20231017141311/https://arxiv.org/pdf/1207.3502.pdf
  |dead-url=no
}}</ref>也可以來自位於最外周界內部的邊界或子多邊形。位於主要邊界內部的較小作為孔洞的子簡單多邊形邊界，其內角等同於整個複雜多邊形的外角，其360度減內角的值才是整個複雜多邊形的內角，所以位於複雜多邊形主要邊界內部的較小簡單多邊形的內角（對於整個複雜多邊形而言）通常是[[優角]]。

在複雜多邊形周圍移動時，頂點處轉向的總量可以是360度（{{math|2π}}）的任意整數倍，例如五角星頂點處轉向的總量為720度，而有角度的「8」頂點處轉向的總量為0度。

== 複合多邊形 ==
複合多邊形是指由多個單獨封閉的相連線段（子多邊形）所組成的多邊形，例如[[大衛星|六角星]]由兩個獨立的三角形組合而成。<ref name="article inchbald2021morphic">{{cite journal
  |title=Morphic Polytopes and Symmetries
  |author=Inchbald, Guy
  |journal=Complex Symmetries
  |pages=57-70
  |year=2021
  |publisher=Springer}}</ref>複合多邊形都是複雜多邊形，若組合的方式是一個大多邊形包含一個小多邊形，即大多邊形內部有一個較小的多邊形（例如回字形），則內部多邊形視為整個複合多邊形的孔洞，也就是一個有「破洞」的多邊形。

== 推廣 ==
=== 複雜多面體 ===
[[File:Tetrahemihexahedron.png|thumb|[[四面半六面體]]是一種複雜多面體]]
複雜多邊形的概念也可以推廣到[[三維空間]]中。對應的概念是複雜多面體。複雜多面體代表存在面有自我相交情形的多面體。<ref name="inproceedings nejur2018constrained">{{cite journal
  |title=Constrained manipulation of polyhedral systems
  |author=Nejur, Andrei and Akbarzadeh, Masoud
  |journal=Proceedings of IASS Annual Symposia
  |volume=2018
  |number=16
  |pages=1-8
  |year=2018
  |publisher=International Association for Shell and Spatial Structures (IASS)}}</ref>所有複雜多面體都是非凸多面體。星形正多面體都是複雜多面體。與複雜多面體相對的概念是[[簡單多邊形#簡單多面體|簡單多面體]]。

== 參見 ==
*[[簡單多邊形]]
*[[複多邊形]]

== 註釋 ==
{{Reflist|group=註}}

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

{{多邊形}}

[[Category:多邊形]]
[[Category:多邊形類型]]