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{{NoteTA
|1 = zh-cn:复小波变换; zh-tw:複小波轉換;
}}
'''複小波轉換'''或'''-{zh-cn:复小波转换; zh-tw:複小波變換;}-'''（Complex Wavelet Transform）是一個離散小波轉換(DWT)的複數形式延伸。

它是一個二维小波變换，它提供多分辨率，稀疏表示，以及图像结构的有益特性。另外，他還提供其幅度的高度移位不变性。

在圖像處理中使用複小波最初始於1995年，由 J.M. Lina 和 L. Gagnon[https://web.archive.org/web/20160303175143/http://www.crim.ca/perso/langis.gagnon/articles/spie95.pdf]用多貝西正交濾波器銀行的框架[http://portal.acm.org/citation.cfm?id=258030&dl=GUIDE&coll=GUIDE&CFID=10476702&CFTOKEN=44762573]。然後劍橋大學[[:剑桥大学]]教授[[Nick Kingsbury|Prof. Nick Kingsbury]] <ref>{{cite conference
|author = N. G. Kingsbury
|title = Image processing with complex wavelets
|booktitle = Phil. Trans. Royal Society London
|location = London
|url = http://citeseer.ist.psu.edu/kingsbury97image.html
|date = September 1999
|access-date = 2015-01-22
|archive-date = 2008-02-09
|archive-url = https://web.archive.org/web/20080209171001/http://citeseer.ist.psu.edu/kingsbury97image.html
|dead-url = no
}}</ref><ref>{{cite journal
|first = N G
|last = Kingsbury
|date = May 2001
|volume = 10
|issue = 3
|pages = 234–253
|journal = Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis
|title = Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals
|url = http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_ACHApap.pdf
|format = PDF
|doi = 10.1006/acha.2000.0343
|access-date = 2015-01-22
|archive-date = 2012-09-07
|archive-url = https://web.archive.org/web/20120907130716/http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/~ngk/publications/ngk_ACHApap.pdf
|dead-url = no
}}</ref><ref>{{cite journal
|first = Ivan W.
|last = Selesnick
|coauthors = Baraniuk, Richard G. and Kingsbury, Nick G.
|title = The Dual-Tree Complex Wavelet Transform
|date = November 2005
|volume = 22
|issue = 6
|pages = 123–151
|journal = IEEE Signal Processing Magazine
|url = http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_SPmag_nov05.pdf
|format = PDF
|doi = 10.1109/MSP.2005.1550194
|access-date = 2015-01-22
|archive-date = 2013-07-18
|archive-url = https://web.archive.org/web/20130718095300/http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_SPmag_nov05.pdf
|dead-url = no
}}</ref>歸納於1997年。
在計算機視覺的區域中，通過利用可見的內文的概念，可以快速地集中於候選區域，其中可以發覺到有興趣的項目，然後通過複小波轉換計算那些被選定的特定區域。這些附加且非必要的特徵，在精確的檢測和識別更小的物體非常有用。同樣地，複小波轉換可以應用於類似檢測皮質的活化素，另外的時間獨立成分分析（TICA）可用於提取底層獨立來源，其數量由貝葉斯信息準則[http://www.springerlink.com/(t0ojvoayxrkdyk55vru2g245)/app/home/contribution.asp?referrer=parent&backto=issue,51,56;journal,180,3824;linkingpublicationresults,1:105633,1]{{Dead link|date=2020年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}確定。
然而，複小波轉換的一個缺點是這種變換是，相較於可分離的離散小波轉換(separable DWT)，它顯示出<math>2^{D}</math>（其中d是被轉換信號的維度）的冗余(redundancy)。

複小波轉換的主要概念是，基於在離散小波轉換的複數函式空間上投影的複數投影，而做的複數小波轉換。
而他的優點主要是：
:1. 可以解決一些離散小波轉換的缺陷

:2. 可控制的多餘項-可以控制的多餘項可以用來平衡轉向的敏感度以及轉換的冗餘。

:3. 可修改性（使用彈性）-可以創建複雜的双密度離散小波轉換：一個移位不敏感的，定向的，在M維空間裡面有低冗余（3M-1）/（2M-1）的複數小波轉換。

== 二分複小波變換 ==
'''二分複小波變換'''(DTCWT)用兩個分開的離散小波轉換(DWT)的分解來計算複數轉換(tree ''a'' and tree ''b'')。

如果使用的其中一個濾波器被特別設計與其他的不同，則有可能一邊的離散小波轉換會得到一個實數的係數，而另外一邊則會得到一個虛的係數。


[[Image:Wavelets - DTCWT.png|frame|none|3-level DTCWT流程圖]]

兩個這種冗餘為分析提供了額外的資訊，但使用了額外的計算能力為代價。它也提供了近似[[移動不變性]]（不像離散小波轉換），但仍允許信號的完美重建。

而濾波器的設計對這個轉換的運算正確性而言特別重要，以及其必須的特性要有：


* 在二分樹的低頻濾波器一定要有半個採樣週期的差異。
* 重建的濾波器是分析的逆向轉換。
* 所有的濾波器都來自於一樣的正交組。
* 分支 ''a'' 的濾波器是分支 ''b'' 的濾波器的反向。
* 兩個樹有相同的頻率響應

==延伸==
* [[小波分析]]
* [[離散小波變換]]（DWT）
* [[連續小波轉換]]（CWT）
* [[短時距傅立葉變換]]
* [[窗函數]]


==參考資料==

{{reflist}}

==外部連結==
* [https://web.archive.org/web/20160303195941/http://www.wavelet.org/phpBB2/viewtopic.php?t=7584 An MPhil thesis: Complex wavelet transforms and their applications]
* [http://eprints.soton.ac.uk/11007/ CWT for EMG analysis]{{Wayback|url=http://eprints.soton.ac.uk/11007/ |date=20160304022852 }}
* [https://web.archive.org/web/20041111015830/http://www.cvgpr.uni-mannheim.de/Publications/TR_13_03.pdf A paper on DTCWT]
* [https://web.archive.org/web/20050816124215/http://www-iplab.ece.ucsb.edu/publications/99IPTexture.pdf Another full paper]
* [http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/~ngk/publications/ngk_biosig04.pdf 3-D DT MRI data visualization]{{Wayback|url=http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/~ngk/publications/ngk_biosig04.pdf |date=20120717084437 }}
* [http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1369333 Multidimensional, mapping-based complex wavelet transforms ]{{Wayback|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1369333 |date=20150122153809 }}
* [https://web.archive.org/web/20160303183211/http://www-syscom.univ-mlv.fr/~chaux/articles/ieeeIPdouble.pdf  Image Analysis Using a Dual-Tree <math>M</math>-band Wavelet Transform (2006), preprint, Caroline Chaux, Laurent Duval, Jean-Christophe Pesquet]
* [https://web.archive.org/web/20160303183047/http://www-syscom.univ-mlv.fr/~chaux/articles/chauxpesquetduvalIT.pdf  Noise covariance properties in dual-tree wavelet decompositions (2007), preprint, Caroline Chaux, Laurent Duval, Jean-Christophe Pesquet]
* [http://arxiv.org/pdf/0712.2317  A nonlinear Stein based estimator for multichannel image denoising (2007), preprint, Caroline Chaux, Laurent Duval, Amel Benazza-Benyahia, Jean-Christophe Pesquet]
* [https://web.archive.org/web/20140829073608/http://www-syscom.univ-mlv.fr/~chaux/ Caroline Chaux website (<math>M</math>-band dual-tree wavelets)]
* [http://www.laurent-duval.eu/siva-signal-image-links.html#dual-tree-complex-wavelet Laurent Duval website (<math>M</math>-band dual-tree wavelets)]{{Wayback|url=http://www.laurent-duval.eu/siva-signal-image-links.html#dual-tree-complex-wavelet |date=20150122151612 }}
* [http://www.ece.msstate.edu/~fowler/ James E. Fowler (dual-tree wavelets for video and hyperspectral image compression)]{{Wayback|url=http://www.ece.msstate.edu/~fowler/ |date=20150122152024 }}
* [http://www.eng.cam.ac.uk/~ngk/ Nick Kingsbury website (dual-tree wavelets)]{{Dead link|date=2018年9月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* [http://www-syscom.univ-mlv.fr/~pesquet/ Jean-Christophe Pesquet website (<math>M</math>-band dual-tree wavelets)]{{Wayback|url=http://www-syscom.univ-mlv.fr/~pesquet/ |date=20130920160558 }}
* [https://web.archive.org/web/20150129091055/http://taco.poly.edu/selesi/ Ivan Selesnick (dual-tree wavelets)]

[[Category:小波分析]]