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'''複小波變換'''是針對標準[[離散傅立葉轉換]]在複數上的延伸形式。事實上，複小波變換是一個二維的小波轉換，並且可以提供多尺度、有用的影像結構特性的分析。此外，他也具備了振幅不會隨著平移而改變的特性。然而，這種轉換具備了一個缺點，就是相對於原本的[[離散傅立葉轉換]]，會有多餘的 <math>2^d</math>(這裡的<math>d</math>是指原始被傳遞訊號的維度)維度存在。

一般而言，複小波變換最早被使用是在1995年，由J.M.Lina和L. Gagnon，基於Daubechies正交濾波器的架構，用以進行影像處理<ref>{{Cite journal|title=Image enhancement with symmetric Daubechies wavelets|author=|url=http://www.crim.ca/perso/langis.gagnon/articles/spie95.pdf|last=Lina|first=Jean-Marc|last2=Gagnon|first2=Langis|date=1995-01-01|journal=|issue=|doi=10.1117/12.217575|others=|year=|volume=2569|page=|pages=196–207|pmid=|access-date=2017-01-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303175143/http://www.crim.ca/perso/langis.gagnon/articles/spie95.pdf|archive-date=2016-03-03|dead-url=yes}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Image Processing with Complex Daubechies Wavelets|url=http://dx.doi.org/10.1023/A:1008274210946|last=Lina|first=Jean-Marc|date=1997-06-01|journal=J. Math. Imaging Vis.|issue=3|doi=10.1023/A:1008274210946|volume=7|pages=211–223|issn=0924-9907}}</ref>。並於1997年被[[劍橋大學]]的Nick Kingsbury教授歸納出一個較為一般性的形式。 <ref>{{cite conference
|author = N. G. Kingsbury
|title = Image processing with complex wavelets
|booktitle = Phil. Trans. Royal Society London
|location = London
|url = http://citeseer.ist.psu.edu/kingsbury97image.html
|date = September 1999
|access-date = 2017-01-08
|archive-date = 2008-02-09
|archive-url = https://web.archive.org/web/20080209171001/http://citeseer.ist.psu.edu/kingsbury97image.html
|dead-url = no
}}</ref><ref>{{cite journal
|first = N G
|last = Kingsbury
|date = May 2001
|volume = 10
|issue = 3
|pages = 234–253
|journal = Journal of Applied and Computational Harmonic Analysis
|title = Complex wavelets for shift invariant analysis and filtering of signals
|url = http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_ACHApap.pdf
|format = PDF
|doi = 10.1006/acha.2000.0343
|access-date = 2017-01-08
|archive-date = 2012-09-07
|archive-url = https://web.archive.org/web/20120907130716/http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/~ngk/publications/ngk_ACHApap.pdf
|dead-url = no
}}</ref><ref>{{cite journal
 |first        = Ivan W.
 |last         = Selesnick
 |author2      = Baraniuk, Richard G.
 |author3      = Kingsbury, Nick G.
 |title        = The Dual-Tree Complex Wavelet Transform
 |date         = November 2005
 |volume       = 22
 |issue        = 6
 |pages        = 123–151
 |journal      = IEEE Signal Processing Magazine
 |url          = http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_SPmag_nov05.pdf
 |format       = PDF
 |doi          = 10.1109/MSP.2005.1550194
 |access-date  = 2017-01-08
 |archive-date = 2013-07-18
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20130718095300/http://www-sigproc.eng.cam.ac.uk/%7Engk/publications/ngk_SPmag_nov05.pdf
 |dead-url     = no
}}</ref>

在電腦視覺的領域中，人們可以藉由利用同時考慮區域影像的概念，快速的將目標集中存在人們有興趣的物件之區域上。然後，再使用複小波變換去計算隱含在圖像中額外的特性，這些特性對於整張圖像中或許是不必要的，但是對於精確的偵測及辨認小物件是有用的。同理，複小波變換亦可被應用在三維空間中，加上[[獨立成分分析]]，可以藉由貝斯資訊標準[http://www.springerlink.com/(t0ojvoayxrkdyk55vru2g245)/app/home/contribution.asp?referrer=parent&backto=issue,51,56;journal,180,3824;linkingpublicationresults,1:105633,1]{{Dead link|date=2020年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}萃取出其中獨立的成分。

== 優點 ==
* 具有高的可修改性，可以用來創建複雜的雙密度離散小波轉換:一個定向、移位不敏感的M維空間中有低冗餘(redundancy)的複數小波轉換
* 解決部分離散小波的缺陷
* 有可控制的額外項，這些額外的控制項可以用來平衡轉換的冗餘(redundancy)以及轉向的敏感度

== Dual-Tree 複小波變換 ==
Dual-Tree複小波變換會利用兩個不同的複小波變換的解構，合成一個新的變換。此外，如果一個複小波變化的濾波器是特別設計(與另一個不同)，則單靠一個複小波變換是有可能同時有實數和虛數的係數。

[[Image:Wavelets - DTCWT.png|frame|none|Block diagram for a 3-level DTCWT]]

使用Dual-Tree複小波變換可以提供額外的資訊方便分析，不過為此也要付出額外的計算資源。同時，如前所述，他也可以提供類平移不變性，所以仍然可以對訊號對完整的重建。

對於複小波變換的濾波器設計所需要具備的特性如下：
* 在兩個不同分支的低頻濾波器必須在取樣區間的一半內是不一樣的
* 重建濾波器可將分析過程反轉而得
* 全部的濾波器都是從同一個正交的集合得來
* a濾波器是b濾波器的反轉
* 兩個分支都有相同的頻率響應

== 參見 ==
* [[小波分析]]
* [[連續小波變換]]

== 參考 ==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20160303195941/http://www.wavelet.org/phpBB2/viewtopic.php?t=7584 An MPhil thesis: Complex wavelet transforms and their applications]
* [http://eprints.soton.ac.uk/11007/ CWT for EMG analysis]{{Wayback|url=http://eprints.soton.ac.uk/11007/ |date=20160304022852 }}
* [http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1369333 Multidimensional, mapping-based complex wavelet transforms ]{{Wayback|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1369333 |date=20150122153809 }}


[[Category:小波]]