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[[Image:Complex log.jpg|200px|right|thumb|複對數的一個分支。其[[色相]]表示複對數的[[辐角]]（極坐標下相對原點的角度），其顏色的飽和度及亮度表示複對數的[[绝对值]]。[[:File:Complex log.jpg|圖片的檔案頁]]中有列出其顏色對應的數值]]

'''複對數'''（{{lang-en|Complex logarithm}}）為[[自然對數]]延伸到非零[[复数 (数学)|复数]]的函數，是以下兩個定義中的一個，這兩個定義彼此也密切相關：
* 非零複數<math>z</math>的複對數，定義為可以使<math>e^w = z</math>的任意複數<math>w</math><ref name=Ahlfors>Ahlfors, Section 3.4.</ref><ref name=Sarason>Sarason, Section IV.9.</ref>。此複數<math>w
</math>可以表示為'''<math>\log z</math>'''<ref name=Ahlfors/>。若<math>z</math>以[[極坐標]]表示為<math>z = re^{i\theta}</math>，其中<math>r</math>和<math>\theta</math>是實數，<math>r>0</math>，則<math>\ln r + i \theta</math>是<math>z</math>的一個複對數，<math>z</math>的所有複對數會是<math>\ln r + i\left(\theta + 2\pi k\right)</math>，其中的<math>k</math>為整數<ref name=Ahlfors/><ref name=Sarason/>。對數會在複數平面上在一條垂直線上等距排列。
* 複數值函數<math>\log \colon U \to \mathbb{C}</math>，定義在<math>\mathbb{C}^*</math>集合中非零複數中的一個子集合<math>U</math>，滿足<math>e^{\log z} = z</math>，針對<math>U</math>裡的所有<math>z</math>。這樣的複數函數類似實數的[[自然對數]]函數<math>\ln \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}</math>，後者是實數[[指數函數]]的[[反函數]]，因此針對所有的正實數{{mvar|x}}，可以滿足{{math|''e''<sup>ln ''x''</sup> {{=}} ''x''}}。複對數函數可以用有關實數值函數顯式公式來建立，用<math>1/z</math>的積分，或是用[[解析延拓]]的方式建立。

沒有在整個複數域<math>\mathbb{C}^*</math>均有定義的[[連續函數|連續]]複指數函數。處理此問題的方式包括{{le|分支點 (數學)|Branch point|分支}}、相關的[[黎曼曲面]]、以及複數指數函數的部份反函數（partial inverse）。主值（principal value）定義了特定的複指數函數<math>\operatorname{Log} \colon \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}</math>，除了在負實數軸之外都連續。是不考慮負實數和0的[[複平面]]。這是（實數）自然對數的[[解析延拓]]。
==參考資料==
{{reflist}}

==書目==
* {{cite book |first=Lars V. |last=Ahlfors |author-link=Lars Ahlfors |title=Complex Analysis |edition=2nd |publisher=McGraw-Hill |year=1966 |url=https://books.google.com/books?id=RfYK28TcZEwC |access-date=2024-01-13 |archive-date=2024-01-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240113151615/https://books.google.com/books?id=RfYK28TcZEwC |dead-url=no }}
* {{cite book |first=Donald |last=Sarason |title=Complex Function Theory |edition=2nd |publisher=American Mathematical Society |year=2007 |isbn= |url=https://books.google.com/books?id=FUWPyHM-XK0C&pg=PA40 }}

==相關條目==
{{refbegin|2}}
* [[对数]]
* [[离散对数]]
* [[指数函数]]
* [[辐角]]
* [[反三角函数]]
* [[冪]]
* {{le|分支切割|Branch cut}}
* [[共形映射]]
* [[解析延拓]]
{{refend}}
[[Category:对数]]
[[Category:解析函數]]