查看“︁裂項和”︁的源代码

'''裂项求和'''（Telescoping sum）是一個非正式的用語，指一種用來計算[[級數]]的技巧：每項可以分拆，令上一項和下一項的某部分互相抵消，剩下頭尾的項需要計算，從而求得級數和。

: <math>\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i+1}) = (a_1-a_2)+(a_2-a_3)+\ldots+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}.</math>

'''裂項積'''（Telescoping product）也是差不多的概念：
: <math>\prod_{i=1}^n \frac{a_i}{a_{i+1}} = \frac{a_1}{a_{n+1}}</math>

==可以用來裂项求和的數學式==
<math>\frac{1}{a(a+b)}=\frac{1}{b}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b}\right)</math>

<math>a^k=\frac{1}{a-1}(a^{k+1}-a^k)</math>

<math>\cos kx=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}\left[\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)x-\sin\left(k-\frac{1}{2}\right)x\right]</math>

<math>\sin kx=\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}}\left[\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)x-\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)x\right]</math>（[[三角恒等式]]）<ref>{{cite journal|author=唐秀农|year=2013|title=裂项法求和的一般原理和法则|journal=数学教学通讯|issue=9|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXUJ201309022.htm|access-date=2014-06-17|archive-date=2014-07-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20140714134732/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SXUJ201309022.htm|dead-url=no}}</ref>

<math>C^n_k=C^{n-1}_k+C^{n-1}_{k-1}</math>（[[帕斯卡法則]]）

<math>\frac{1}{C^n_k}=\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C^{n+1}_k}+\frac{1}{C^{n+1}_{k+1}}\right)</math><ref>{{cite book|title=封闭形和式初步|author=及万会 张来萍 杨春艳}}</ref>

==求和类型==
===一般求和===
若有<math>a_k=b_k-b_{k+1}</math>，则<math>\sum_{k=m}^n a_k=b_m-b_{n+1}</math>

:<math>\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n \cdot (n+1)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n (\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\cdots+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})=1-\frac{1}{n+1}</math>

===交错求和===
若有<math>a_k=b_k+b_{k+1}</math>，则<math>\sum_{k=m}^n (-1)^k a_k=(-1)^m b_m+(-1)^{n+1} b_{n+1}</math>

:<math>\sum_{k=1}^{2n} \frac{(-1)^{k-1}}{C_{2n}^k}=\frac{2n+1}{2n+2}\sum_{k=1}^{2n} (-1)^{k-1} \left(\frac{1}{C_{2n+1}^k}+\frac{1}{C_{2n+1}^{k+1}}\right)=\frac{2n+1}{2n+2} \left[\frac{1}{C_{2n+1}^1}+\frac{(-1)^{2n-1}}{C_{2n+1}^{2n+1}}\right]=\frac{2n+1}{2n+2}\left(\frac{-2n}{2n+1}\right)=\frac{-n}{n+1}</math>

==誤用==
:<math>0 = \sum_{n=1}^\infty 0 = \sum_{n=1}^\infty (1-1) = 1 + \sum_{n=1}^\infty (-1 + 1) = 1\,</math>

這是錯誤的。將每項重組的方法只適用於獨立的項趨近0。

防止這種錯誤，可以先求首N項的值，然後取N趨近無限的值。

:<math>
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\,</math>

::::<math>= \left(1 - \frac{1}{2}\right)
+  \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(\frac{1}{N} - \frac{1}{N+1}\right)\, </math>

::::<math>=  1 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right)
+ \left( - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}\right) + \cdots
+ \left(-\frac{1}{N} + \frac{1}{N}\right) - \frac{1}{N+1} \,</math>

::::<math>= 1 - \frac{1}{N+1}\to 1\ \mathrm{as}\ N\to\infty.\,</math>

==例子：[[三角函數]]==
::<math>\sum_{n=1}^N \sin\left(n\right) = \sum_{n=1}^N \frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left[2\sin\left(\frac{1}{2}\right)\sin\left(n\right)\right]</math>

:::::<math>=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \sum_{n=1}^N \left[\cos\left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2n+1}{2}\right)\right]</math>

:::::<math>=\frac{1}{2} \csc\left(\frac{1}{2}\right) \left[\cos\left(\frac{1}{2}\right)-\cos\left(\frac{2N+1}{2}\right)\right]</math>

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* https://web.archive.org/web/20060902104046/http://www.math.wisc.edu/~rhoades/Notes/buFall2005putnam.pdf

[[Category:级数]]
[[分类:初等数学]]