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[[File:2006-01-14 Surface waves.jpg|thumb|水面漣漪]]
[[File:Ripples Lifjord.jpg|thumb|[[挪威]][[厄克斯內斯]]Lifjord
的漣漪]]
[[File:Multy droplets impact.JPG|thumb|[[水滴]]產生的漣漪]]

'''表面張力波'''（{{lang-en|Capillary wave}}）是延著[[液體]][[相邊界]]行進的[[波]]，其[[動力學]]及相速度是由[[表面张力]]的效應所決定，在水面上的表面張力波常稱為'''漣漪'''。

表面張力波是自然界常見的現象，其波長多半在數公分以內，而[[相速度]]約0.2-0.3公尺/秒。

若液體表面的波是受到表面张力、[[重力]]及液體[[慣性]]的影響，其波長會比較長，稱為重力-表面張力波（gravity–capillary waves）。一般的重力波波長會更長。

漣漪可能是在開放水體中由微風所產生，在開放海域中，由風產生的小漣漪可能會造成大的[[波濤]]。

==色散关系==
[[色散关系]]說明在波當中[[波长]]和[[頻率 (物理學)|頻率]]之間的關係。色散关系會出現在只受表面張力影響的純表面張力波中，也會出現在由重力和表面張力影響的重力-表面張力波中。

===一般的表面張力波===
在表面張力波中的色散关系是

:<math>
\omega^2=\frac{\sigma}{\rho+\rho'}\, |k|^3,</math>
其中''ω''是[[角频率]]，''σ''是[[表面张力]]，''ρ''是較重流體的[[密度]]，''ρ'''是較輕流體的密度，''k''是[[波數]]。其[[波长]]為 
<math>
\lambda=\frac{2 \pi}{k}.</math>
若在流體和真空中的邊界，其色散关系簡化為是
:<math>
\omega^2=\frac{\sigma}{\rho}\, |k|^3.</math>

===重力-表面張力波===
[[File:Dispersion capillary.svg|thumb|right|在深水表面的重力-表面張力波（上方的密度為0，''ρ′&nbsp;=&nbsp;0''）。相速度及群速度除以<math>\scriptstyle \sqrt[4]{g\sigma/\rho}</math>後，會是相對波長倒數的函數<br>{{•}}藍線(A)：相速度，紅線(B)：群速度<br>{{•}}實線：重力-表面張力波色散关系。<br>{{•}}點線：深水重力波的色散關係<br>{{•}}虛點線：實際深水重力波的色散關係]]

一般而言，水也會受到重力的影響，因此稱為重力-表面張力波。若是無限深度的流體，其色散關係如下<ref name=Lamb>Lamb (1994), §267, page 458–460.</ref><ref>Dingemans (1997), Section 2.1.1, p.&nbsp;45.<br>Phillips (1977), Section 3.2, p.&nbsp;37.</ref>：

:<math>
\omega^2=|k|\left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'}g+\frac{\sigma}{\rho+\rho'}k^2\right),
</math>

其中''<math>g</math>''為[[標準重力|重力場強度]]，''<math>\rho</math>''和<math>\rho'</math>分別是二種流體的[[密度]]<math>\rho>\rho'</math>。第一項的<math>(\rho-\rho')/(\rho+\rho')</math>因子是[[阿特伍德数]]。

====重力波的範圍====
若波長較大（波數<math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math>較小），主要會受第一項，[[重力波 (流體力學)|重力波]]的影響。

若到極限時，波的[[群速度]]會是[[相速度]]的一半。若跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在後面出現，成長，最後會在波群的前面消失。

====表面張力波範圍====
若波長較小（波數較大，例如在水-空氣介面中，波數到達2&nbsp;mm)，是表面張力波，情形恰好相反。跟隨著某一個波群中的某一個波峰前進，會看到波在前面出現，成長，最後會在波群的後面消失。在極限時，群速度會是相速度的1.5倍。
====相速度的最小值====

在上述兩種極端條件之間，存在一個點，表面張力波產生的色散會和重力產生的色散相抵消。在該波長下，群速會等於相速，沒有色散。在該波長下，重力-表面張力波的相速有極小值。若波長遠大於臨界波長''λ<sub>m</sub>''的波主要會受到表面張力影響，波長遠大於該值的波主要會受到重力影響。波長和最小相速度''c<sub>m</sub>''的關係如下<ref name=Lamb/>：

:<math>\lambda_m = 2 \pi \sqrt{ \frac{\sigma}{(\rho-\rho') g}}
  \quad \text{and} \quad
  c_m = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ (\rho - \rho') \sigma g}}{\rho+\rho'} }.</math>
針對[[空氣]]–[[水]]的界面，<math>\lambda_m</math>約為{{convert|1.7|cm|in|abbr=on}}，<math>c_m</math>為{{convert|0.23|m/s|ft/s|abbr=on}}.<ref name=Lamb/>。

若小石頭或是水滴落入液面，漣漪會以同心圓往外擴散，最後水面會靜止。漣漪的同心圓會出現{{link-en|焦散|caustic (optics)}}，對應最小相速<ref>{{cite book |last=Falkovich |first=G. |title=Fluid Mechanics, a short course for physicists |url=https://archive.org/details/fluidmechanicssh0000falk |publisher=Cambridge University Press |year=2011 |isbn=978-1-107-00575-4 |nopp=yes |pages=Section 3.1 and Exercise 3.3}}</ref>

====原理====
[[理查德·費曼]]曾提過：「[水波]是每一個人都可以看到的現象，也在基礎教育中用來做為波的例子[......]，但也是最壞的例子，[......]波可能會出現的複雜問題，在水波中都可可能出現。」<ref>[[理查德·費曼]], R.B. Leighton, and M. Sands (1963). '[[费曼物理学讲义]].'' Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.</ref>。在重力-表面張力波的色散關係中，也會有類似的情形<ref>在Safran (1994)中有更細節的敘述 for a more detailed description.</ref>。

<!-- Therefore, first the assumptions involved are pointed out. <<  ? -->一般會假設重力-表面張力波的能量來源有三個：重力、[[表面张力]]及[[流體動力學]]。前兩個是勢能。在有關重力的部份，一般分析會假設流體的密度是定值（不可壓縮性），也會假設重力是定值（水波的高低還不足以造成重力顯著變化的程度）。有關表面張力，會假設表面的高度變化很小，針對一般水波，上述二個假設都可以成立。

能量來源的第三個是流體的[[动能]]，這部份最複雜，需要用[[流體動力學]]的技巧。此處會再假設不可壓縮性（若波的速度遠小於介質中聲速時成立），流場本身是[[保守向量场]]，因此流[[位流]]。

==相關條目==
* [[毛细现象]]
* {{link-en|水波色散|Dispersion (water waves)}}
* {{link-en|流體管|Fluid pipe}}
*[[波濤]]
<!--* {{link-en|Thermal capillary wave|Thermal capillary wave}}-->
* {{link-en|兩相流|Two-phase flow}}
<!--* {{link-en|Wave-formed ripple|Wave-formed ripple}}-->
*{{le|Airy波理論|Airy wave theory}}
==腳註==
{{reflist|30em}}

==參考資料==
*{{cite journal | author=Longuet-Higgins,M. S. | title=The generation of capillary waves by steep gravity waves | journal=Journal of Fluid Mechanics | volume=16 | issue=1 | year=1963 | issn=1469-7645 | pages= 138–159 | doi=10.1017/S0022112063000641 |bibcode = 1963JFM....16..138L }}
*{{cite book | first=H. | last=Lamb || year=1994 | title=Hydrodynamics | publisher=Cambridge University Press | edition=6th| isbn=978-0-521-45868-9 }}
*{{cite book| first=O. M. | last=Phillips |title=The dynamics of the upper ocean |publisher=Cambridge University Press | year=1977 | edition=2nd | isbn=0-521-29801-6 }}
*{{cite book | title=Water wave propagation over uneven bottoms | first=M. W. |last=Dingemans | year=1997 | series=Advanced Series on Ocean Engineering | volume=13 | publisher=World Scientific, Singapore | pages=2 Parts, 967 pages | isbn=981-02-0427-2 }}
*{{cite book | first=Samuel | last=Safran | title=Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes | publisher=Addison-Wesley | year=1994 }}
*{{Cite journal | first1=N. B. | last1=Tufillaro | first2=R. | last2=Ramshankar | first3=J. P. | last3=Gollub | title=Order-disorder transition in capillary ripples | journal=Physical Review Letters | volume=62 | issue=4 | pages=422–425 | year=1989 | doi=10.1103/PhysRevLett.62.422 | pmid=10040229 | bibcode=1989PhRvL..62..422T | url=http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs | access-date=2019-11-26 | archive-date=2017-09-22 | archive-url=https://web.archive.org/web/20170922010432/http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs | dead-url=no }}

==外部連結==
{{commons category|Ripples (water waves)}}
*[http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves Capillary waves entry at sklogwiki] {{Wayback|url=http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves |date=20210208093218 }}

{{DEFAULTSORT:Capillary Wave}}
[[Category:流体动力学]]
[[Category:水波]]