查看“︁补数”︁的源代码

{{noteTA
|G1 = Math
|G2 = IT
}}
{{About|补数的一般概念|電腦科學常用的补数|二補數}}
'''補数'''（{{Lang|en|complement}}）是对于给定的[[进位制]]，相加后能使[[自然数]] a 的位数增加 1 的最小的数。可以在计算电路中，代替减<math>x</math>的操作，而仅仅使用加法器元件（[[加法器]]）的“加上<math>x</math>的补数（无视最高位的进位）”，达到相同的效果。

== 定义 ==

设''b'' 进制表示自然数 ''a'' 至少需要 ''n'' 位数字，规定
* <math>b^n - a</math> 是&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;“''b'' 进制数 ''a'' 的关于'''基数的补数'''（''b'' 的补数）”
* <math>b^n - a - 1</math> 是“''b'' 进制数 ''a'' 的关于'''减基数的补数'''（''b - 1'' 的补数，简称'''减补数'''、'''侪补数'''）”。

例如，十进制自然数 61 关于[[基数]] 10 的补数是 <math>10^2 - 61 = 39</math>。二进制自然数 <math>10010_2 (= 18_{10})</math> 关于[[基数]] 2 的补数是 <math>2^5 - 18 = 1110_2 (= 14_{10})</math>。

由定义可以得出，''a'' 的'''[[基数]]的补数''' 加上 ''a''，可以得到位数多一位的最小的自然数（<math>= b^n</math>）。''a'' 的'''[[減基数]]的补数''' 加上 ''a'' ，可以得到位数不增加的最大的自然数（<math>= b^n - 1</math>）。

基数 ''b'' 在上下文中明确的时候，“在''b'' 进制中”的描述通常被省略。

但是，在[[基数]]不明确的情况下，“<math>\beta</math> 的补数”表示的可以是<math>(\beta + 1)</math> 进制的[[減基数]]的补数，也可是 <math>\beta</math> 进制的基数的补数，从而产生歧义（这两者的值不一定是相等的）。例如，仅仅说“9的补数”，无法确定指的是“10进制中的减基数的补数”还是“9进制中的基数的补数”。

在英文中，十进制的基数的补数记为 ''ten's complement''，减基数的补数称为 ''nines' complement''。二进制中，基数的补数称为 ''two's complement''，减基数的补数称为 ''ones' complement''。其他进制也有类似的称法。一些人，如[[高德纳]]，建议采用[[撇号]]区分。这样，''four's complement''指的是四进制中的基数的补数。而''fours' complement''指的是五进制中的减基数的补数。但是，这并不是普遍的做法，而且在几乎所有情况下进制是明确的。多数作者写做 ''one's''和''nine's complement''，一些格式手册建议采用 ''ones''和''nines complement''，不采用撇号。

== 計算方法 ==

对于N进制的自然数a，从个位开始的各位数字
: <math>a_0,a_1, ..., a_{r-1},a_r  </math>
规定<math>a_r</math>不能为0。规定<math>b_i</math>的各位为：
: b<sub>i</sub> = (N + 1) + a<sub>i</sub>
这时，N进制形如的
: <math>a_0,a_1, ..., a_{r-1},a_r  </math>
数 <math>b</math> 即称为“<math>a</math> 的关于 '''<math>(N + 1)</math> 的补数'''”。

=== 10进制的举例 ===

求[[十进制]]数 2304671 的补数。由于 9 = 2 + 7 = 3 + 6 = 0 + 9 = 4 + 5 = 6 + 3 = 7 + 2 = 1 + 8 ，令'''N=9'''时，自然数'''2304671'''对应的補数为 '''7695328''' 。
7695328 + 1 = 7695329 ，因此'''N=10'''时，自然数'''2304671'''对应的補数是 '''7695329'''。

=== 2进制的举例 ===

二进制中有 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1，'''求1的补数'''只需简单地将0与1相互替换'''。'''（[[位操作]]中的[[逻辑非]]运算）。

求[[二補數]]（即补码），只需要将1的补数加1。

* 二进制的 101010110 对应的1的补数是 010101001。
* 2 的补数是 010101001 + 1 = 010101010。

== 参考文献 ==
'''JIS X 0005''':2002 情報処理用語（データの表現） 05.08

Donald E. Knuth 『The Art of Computer Programming Vol. 2 Seminumerical Algorithms Third Ed. 日本語版』 アスキー、2004年、191頁。 (ISBN 4-7561-4543-4)

== 相关条目 ==

* [[加法器]]
* [[二補數]]
* [[有符號數處理]]

[[Category:数字]]