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[[File:Butterfly_theorem.svg|right|245px|thumb]]
'''蝴蝶定理'''（Butterfly theorem），是古典[[欧氏平面几何]]的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《[[美国数学月刊]]》1944年2月号，题目的几何图形象一只[[蝴蝶]]，便以此命名。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。

最基本的叙述为：设''M''为圆内[[弦 (幾何)|弦]]''PQ''的中点，过''M''作弦''AB''和''CD''。设AD和''BC''各相交''PQ''于点''X''和''Y''，则''M''是''XY''的中点。

这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年[[英国]]的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师[[W.G.霍纳]]（他发明了[[多项式]]方程近似根的[[霍纳法]]）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是[[射影几何]]的证法，由英国的[[约翰·开世|J·开世]]在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，[[李俨 (现代学者)|李俨]]译，上海[[商务印书馆]] 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的[[交比]]。1981年，[[Crux杂志]]刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用[[解析几何]]的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。

该定理实际上是[[射影几何]]中一个定理的特殊情况，有多种推广：
# M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
# 圆可以改为任意[[圆锥曲线]]。
# 将圆变为一个[[完全四角形]]，M为对角线交点。
# 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“[[坎迪定理]]”， <math>M \,</math>不为中点时满足: <math> {1 \over MY}-{1 \over MX} = {1 \over MQ}-{1 \over MP} </math>,这对2，3均成立。

==证明==

从<math>X\,</math>向<math>AM\,</math>和<math>DM\,</math>作垂线，设垂足分别为<math>X'\,</math>和<math>X''\,</math>。类似地，从<math>Y\,</math>向<math>BM\,</math>和<math>CM\,</math>作垂线，设垂足分别为<math>Y'\,</math>和<math>Y''\,</math>。

[[File:Butterfly1.svg|right|frame|<center>证明蝴蝶定理<center>]]

现在，由于
:: <math> \triangle MXX' \sim \triangle MYY',\, </math>
: <math> {MX \over MY} = {XX' \over YY'}, </math>

:: <math> \triangle MXX'' \sim \triangle MYY'',\, </math>
: <math> {MX \over MY} = {XX'' \over YY''}, </math>

:: <math> \triangle AXX' \sim \triangle CYY'',\, </math>
: <math> {XX' \over YY''} = {AX \over CY}, </math>

:: <math> \triangle DXX'' \sim \triangle BYY',\, </math>
: <math> {XX'' \over YY'} = {DX \over BY}, </math>

从这些等式，可以很容易看出：

: <math> \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''}, </math>

: <math> {} = {AX.DX \over CY.BY}, </math>

: <math> {} = {PX.QX \over PY.QY}, </math>

: <math> {} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}, </math>

由于<math>PM \,</math> = <math>MQ \,</math>

现在，

:<math> { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. </math>

因此，我们得出结论：
<math>MX = MY \,</math>，也就是说，<math>M \,</math>是<math>XY \,</math>的中点。

证毕。

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[[Category:圆]]