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{{NoteTA|G1=Math}}
[[file:spider_and_fly_problem.svg|thumb|400px|蜘蛛和蒼蠅問題的⑴直觀解和、⑵最佳解的[[等轴测投影]]和[[展開圖]]]]
'''蜘蛛和蒼蠅問題'''是一個具有不直觀解的[[娛樂數學]]之[[测地线]][[數學謎題|謎題]]。該問題為房間中有[[蜘蛛]]和[[蒼蠅]]，求蜘蛛欲抓到蒼蠅所需爬行的最短路徑。

== 謎題 ==
在這個謎題典型的版本中，問題被描述為在一個30[[英尺]]長、12英尺寬和12英尺高的空[[長方體]]房間中有一隻[[蜘蛛]]和一隻[[蒼蠅]]。蜘蛛的位置在[[天花板]]下方1英尺處，並水平居中於一面12英尺×12英尺的[[牆壁|牆面]]上。蒼蠅的位置則是停在比[[地板]]高1英尺且水平居中於蜘蛛所在牆面之對面的牆面上。問題是要找出蜘蛛必須沿著牆壁、天花板或地板爬行，爬行到蒼蠅所在位置之最短路徑的[[距離]]。<ref name="mathworld">{{cite mathworld|urlname=SpiderandFlyProblem|title=Spider and Fly Problem}}</ref><ref>{{cite web | url = https://www.pleacher.com/mp/mlessons/calculus/mobspidr.html | title = The Spider and the Fly | website = pleacher.com | access-date = 2022-08-27 | archive-date = 2022-08-27 | archive-url = https://web.archive.org/web/20220827081534/https://www.pleacher.com/mp/mlessons/calculus/mobspidr.html | dead-url = no}}</ref>

== 解答 ==
這個問題最直觀的解決方案是讓蜘蛛保持水平居中，爬到天花板上後，穿過天花板抵達對面的牆面，再沿牆面往下爬到蒼蠅的位置，這樣的路徑長度為42英尺。但實際上的最佳解的最短距離其實是40英尺，其可以透過在該房間適當的展開圖上將蜘蛛和蒼蠅的位置用直線連接來獲得的，但這個解答並不直觀，因為這條最佳路徑經過了長方體六個面中的5個面，讓人不容易發現存在這條最短路徑。<ref>{{cite web | url=http://www.se16.info/js/cuboid.htm#SpiderFly | title=Distances on the surface of a cuboid | author=Henry Bottomley | access-date=2022-08-27 | archive-date=2022-01-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220126060420/http://www.se16.info/js/cuboid.htm#SpiderFly | dead-url=no }}</ref>

以[[橫向思維]]來思考這個問題，解決方案還有：蜘蛛先透過蜘蛛絲垂降到地面，後在地板上爬行30英尺後再往牆壁向上爬行抵達蒼蠅的位置，如此一來，爬行距離就僅需要31英尺。同理，蜘蛛也可以先向上爬行1英尺抵達天花板，再從天花板上爬行30英尺後，再用蜘蛛絲垂降到蒼蠅的位置，這樣的爬行距離也是31英尺。<ref name="mathworld"/>

== 一般化 ==
{| class="wikitable sortable infobox" style="text-align:right;line-height:0.8;"
! ''l'' !! ''w'' !! ''h'' !! ''b'' !! ''a'' !! ''n'' !! ''o'' !! {{nowrap|''n''&minus;''o''}}
|-
| 22 ||  5 ||  5 || 1 || 1 || 27 || 26 || 1
|-
| 22 ||  9 ||  9 || 1 || 1 || 31 || 30 || 1
|-
| 28 ||  8 ||  8 || 1 || 1 || 36 || 34 || 2
|-
| 28 ||  9 ||  7 || 1 || 1 || 35 || 34 || 1
|-
| 26 || 11 || 10 || 1 || 1 || 36 || 35 || 1
|-
| 33 ||  6 ||  6 || 1 || 1 || 39 || 37 || 2
|-
| 33 ||  7 ||  5 || 1 || 1 || 38 || 37 || 1
|-
| 34 ||  8 ||  7 || 1 || 1 || 41 || 39 || 2
|-
| 34 ||  9 ||  6 || 1 || 1 || 40 || 39 || 1
|- style="font-weight:bold;"
| 30 || 12 || 12 || 1 || 1 || 42 || 40 || 2
|-
| 30 || 13 || 11 || 1 || 1 || 41 || 40 || 1
|-
| 38 ||  5 ||  4 || 1 || 1 || 42 || 41 || 1
|-
| 34 || 14 || 13 || 1 || 1 || 47 || 45 || 2
|-
| 34 || 15 || 12 || 1 || 1 || 46 || 45 || 1
|-
| 38 || 15 || 15 || 1 || 1 || 53 || 50 || 3
|-
| 38 || 16 || 14 || 1 || 1 || 52 || 50 || 2
|-
| 36 || 15 || 15 || 2 || 2 || 51 || 50 || 1
|-
| 37 || 15 || 15 || 1 || 2 || 51 || 50 || 1
|-
| 37 || 15 || 15 || 2 || 1 || 51 || 50 || 1
|-
| 38 || 17 || 13 || 1 || 1 || 51 || 50 || 1
|-
| 40 || 17 || 16 || 2 || 2 || 56 || 55 || 1
|-
| 40 || 20 || 20 || 1 || 1 || 60 || 58 || 2
|-
| 38 || 21 || 21 || 1 || 1 || 59 || 58 || 1
|-
| 40 || 21 || 19 || 1 || 1 || 59 || 58 || 1
|}
對於一個長度為l、寬度為w、高度為h的房間，若蜘蛛在天花板下方離天花板的[[距離]]為b、蒼蠅據地板的距離為a，則最短路徑的長度o為<math>\sqrt{(w + h)^2 + (b + l + a)^2}</math>，最直觀的距離n為<math>l + h - | b - a |</math>。<ref name="article Mellinger, Keith and Viglione, Raymond">{{cite journal
|author = Mellinger, Keith and Viglione, Raymond
|date = 2012-03
|pages = 169-172
|title = The Spider and the Fly
|url = https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2012-03_43_2/page/169
|volume = 43
|journal = The College Mathematics Journal
|doi = 10.4169/college.math.j.43.2.169
}}</ref>

下表給出了l和w皆小於40且w大於等於h且o < n的整數解，並按o與n和o之差值作升冪排序。原始問題的數值以粗體表示。

== 歷史 ==
這個謎題由[[亨利·杜德耐]]設計，最早刊登在1903年6月14日的英文報紙《每週快訊》中，並在1905年1月18日至2月7日的《每日郵報》上被熱烈地討論，獲得了極大的公眾興趣<ref name="book dudeney1908canterbury">{{cite book
  |title=The Canterbury Puzzles: And Other Curious Problems
  |author=Dudeney, H.E.
  |url=https://books.google.com.tw/books?id=iUoXAAAAYAAJ
  |year=1908
  |publisher=E.P. Dutton and Company
  |access-date=2022-08-27
  |archive-date=2022-08-27
  |archive-url=https://web.archive.org/web/20220827081534/https://books.google.com.tw/books?id=iUoXAAAAYAAJ
  |dead-url=no
}}</ref>{{rp|175}}，後來被收錄於1907年出版的《坎特伯雷謎題和其他奇特謎題》（The Canterbury Puzzles and Other Curious Problems）中的第79個問題，<ref name="book alsina2015mathematical">{{cite book
  |title=A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century
  |author=Alsina, C. and Nelsen, R.B.
  |isbn=9781614442165
  |series=Dolciani Mathematical Expositions
  |url=https://books.google.com.tw/books?id=2F\_0DwAAQBAJ
  |year=2015
  |publisher=Mathematical Association of America
 }}</ref>{{rp|217}}並由[[马丁·加德纳]]描述。<ref>{{cite web
|url=http://www.daviddarling.info/encyclopedia/S/spider-and-fly_problem.html
|title=spider-and-fly problem
|first=David
|last=Darling
|website=Daviddarling.info
|accessdate=1 March 2019
|archive-date=2022-09-18
|archive-url=https://web.archive.org/web/20220918055040/https://www.daviddarling.info/encyclopedia/S/spider-and-fly_problem.html
|dead-url=no
}}</ref>

== 參見 ==
*[[展開圖]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

[[Category:趣味數學]]