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在[[同調代數]]中，'''蛇引理'''是構造[[長正合序列]]的關鍵工具，此引理在任何[[阿貝爾範疇]]中皆成立。依此構造的同態通常稱作'''連結同態'''。

==敘述==
考慮一[[阿貝爾範疇]]<math>\mathcal{A}</math>（例如[[阿貝爾群]]或[[模]]的範疇）中的[[交換圖]]：

[[File:SnakeLemma01.png]]

使得每一橫列均為[[正合序列]]。此時存在一個聯繫<math>a, b, c</math>的核與上核的正合序列：

<math>\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c</math>

此外，若<math>f</math>是[[單射]]，則<math>\ker a \to \ker b</math>亦然；若<math>g'</math>是[[滿射]]，則<math>\mathrm{coker} b \to \mathrm{coker} c</math>亦然。

==引蛇出洞==
為了理解'''蛇引理'''的由來，觀察下圖：

[[File:SnakeLemma03.png]]

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒''S''狀的蛇形。

==構造連接同態==
核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態<math>d</math>及序列在該處的正合性。

對於[[模]]範疇的情形，同態<math>d</math>可如是構造：

選定<math>x \in \ker c</math>，並視之為<math>C</math>的元素；由於<math>g</math>是滿射，存在<math>y \in B</math>滿足<math>g(y)=x</math>。由圖的交換性，我們有
: <math>g'(b(y)) = c(g(y)) = c(x) = 0</math>（因為<math>x \in \ker c</math>）
於是<math>b(y) \in \ker g'</math>。由於底部的橫列正合，存在<math>z \in A'</math>使得<math>f'(z)=b(y)</math>。置<math>d(x) := z + \mathrm{im}(a)</math>。今須驗證<math>d</math>是明確定義的，即<math>d(x)</math>不依賴<math>y, z</math>之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用[[Mitchell嵌入定理]]，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環<math>R</math>的<math>R</math>-模範疇。

==函子性==
在應用上，我們常常需要長正合列的「函子性」或曰「自然性」（就[[自然變換]]意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

設[[交換圖]]
:[[File:snake_lemma_nat.png|commutative diagram with exact rows]]
的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在「前」一次在「後」，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：
:[[File:snake_lemma_nat2.svg|commutative diagram with exact rows]]

==文獻==
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

[[Category:同調代數|S]]
[[Category:引理|S]]