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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Virtual Displacement 03.svg|thumb|300px|粒子的運動軌道與虛軌道分別為<math>x (t)</math>與<math>x'(t)</math>。在位置<math>x_1</math>、時間<math>t_1</math>，虛位移為<math>\delta x</math>。兩種軌道的初始位置與終止位置分別為<math>x_0</math>與<math>x_2</math>。]]

在[[分析力學]]裏，施加於某物體的[[作用力]]，由於給定的[[虛位移]]，所做的[[機械功]]，稱為'''虛功'''（{{lang-en|'''virtual work'''}}）。以方程式表達，虛功<math>\delta W</math>是
:<math>\delta W= \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}</math>；

其中，<math>\mathbf{F}</math>是作用力，<math>\delta \mathbf{r}</math>是虛位移。

在這篇文章裏，[[位移]]指的是[[平移運動]]所造成的位移或[[旋轉運動]]所造成的[[位移|角位移]]；作用力指的是力量或[[力矩]]。虛位移不是實際的位移，而是一種虛構的、理論上的位移，是一種只涉及位置，不涉及時間的變化。每一個[[虛位移]]既是[[自變量]]（{{lang|en|independent variable}}），又是任意設定的。任意性是一個很重要的特性，在數學關係式裏，能夠推導出許多重要的結果。例如，思考下述[[矩陣]]方程式：
:<math>\mathbf{R}^{T} \mathbf{r} = \mathbf{R}^{T} \mathbf{B} \mathbf{q}</math>；

其中，<math>\mathbf{R},\ \mathbf{r},\ \mathbf{q}</math>都是[[向量]]，<math>\mathbf{B}</math>是[[方塊矩陣]]。

假若，<math>\mathbf{R}</math>是個任意非零向量，則可以將任意項目<math>\mathbf{R}</math>從方程式中除去，得到<math> \mathbf{r} = \mathbf{B} \mathbf{q} </math>。

==虛功原理==
'''虛功原理'''闡明，一個物理系統處於[[靜態平衡]]（{{lang|en|static equilibrium}}），[[若且唯若]]，所有施加的外力，經過符合[[約束|約束條件]]的虛位移，所做的虛功的總和等於零<ref name="Lanczos">{{citation|last=Lanczos|first=Cornelius|title=The Variational Principles of Mechanics| pages= pp. 74-87|publisher=Dovers Publications, Inc |year=1970| isbn = 978-0-486-65067-8}}</ref><ref name="Torby1984">{{citation |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=en |isbn=0-03-063366-4 |pages=pp. 263}}</ref>。以方程式表達，
:<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

考慮一個由一群[[質點]]組成，呈靜態平衡的物理系統，其內部任意一個質點<math>P_i</math>可能感受到很多個作用力。這些作用力的總和<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)}</math>等於零：
:<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)} = 0</math>。

給予這質點<math>P_i</math> [[虛位移]]<math>\delta \mathbf r_i</math>，則合力<math>\mathbf {F}_{i}^{(T)}</math>所做的虛功<math>\delta W_i</math>為零：
:<math>\delta W_i = \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

總合這系統內做於每一個質點的虛功，其答案也是零：
:<math>\delta W = \sum_{i}\ \mathbf{F}_{i}^{(T)} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

將合力細分為外力<math>\mathbf F_i</math>與[[約束|約束力]]<math>\mathbf C_i</math>：
:<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i + \sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

假設所有約束力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980 |publisher=Addison Wesley|edition= 3rd|isbn=  0201657023 |language=en|pages=pp. 17}}</ref>：
:<math>\sum_{i} \mathbf {C}_{i} \cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>，

則約束力項目可以從方程式中除去，從而得到虛功原理的方程式：
:<math>\delta W = \sum_{i} \mathbf{F}_{i}\cdot \delta \mathbf{r}_i = 0</math>。

注意到這推論裏的約束力假設。在這裏，約束力就是[[牛頓第三定律]]的[[反作用力]]。因此，可以稱此假設為'''反作用力的虛功假設'''：所有反作用力所做的符合約束條件的虛功，其總合是零。這是分析力學額外設立的假設，無法從[[牛頓運動定律]]推導出來<ref name="Lanczos"/>。

在[[動力學]]裏，虛功原理會被推廣為[[達朗貝爾原理]]。這原理是[[拉格朗日力學]]的理論基礎。更詳盡細節，請參閱相關條目。

===適用案例===
在此特別列出幾個案例，展示出約束力所做的符合約束條件的虛功的總合是零：
*[[剛體]]的約束條件是一種[[完整系統|完整約束]]，以方程式表達，<math>(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=L_{ij}^2</math>；其中，剛體內部的質點<math>P_i</math>、<math>P_j</math>的位置分別為<math>\mathbf{r}_i</math>、<math>\mathbf{r}_j</math>，它們之間的距離<math>L_{ij}</math>是個常數。所以，兩個質點的虛位移<math>\delta\mathbf{r}_i</math>、<math>\delta\mathbf{r}_j</math>之間的關係為 
:<math>\delta(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)^2=2(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0</math>。

:在這裏，有兩種可能的狀況：
::1、<math>\delta\mathbf{r}_i=\delta\mathbf{r}_j</math>：
:::對於這狀況，由於<math>\mathbf{C}_{ji}= - \mathbf{C}_{ij}</math>，兩個作用力所做的虛功相互抵銷，也就是說，
::::<math>\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=0</math>，
:::所以，約束力所做的虛功的總合是零。
::2、<math>(\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j)\perp(\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)</math> : 
:::由於<math>\mathbf{C}_{ij}\ \|\ \mathbf{C}_{ji}\ \|\ (\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j)</math>，
::::<math>\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i+\mathbf{C}_{ji}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_i - \mathbf{C}_{ij}\cdot\delta\mathbf{r}_j=\mathbf{C}_{ij}\cdot (\delta\mathbf{r}_i - \delta\mathbf{r}_j)=0</math>。

:::所以，約束力所做的虛功的總合是零。

:所以，在剛體內，質點與質點之間的約束力所作的虛功的總合是零。

*思考置放於平滑地面上的一塊木塊。因為木塊的重量，而產生的反作用力，是地面施加於木塊的一種約束力。注意到對於這案例，符合約束條件的虛位移必須與地面平行，所以，地面施加的約束力垂直於虛位移，它所作的虛功等於零。<ref name="Herb1980"/>。

===在位形空間的意義===
將一般的作用力和坐標分別變換為以[[廣義力]]<math>\mathcal{F}_i</math>和[[廣義坐標]]<math>q_i</math>表達，
:<math>\delta W = \sum_{i} \mathcal{F}_i \delta q_i = 0</math>。

設定一個<math>N</math>維[[位形空間]]，其坐標為<math>(q_1,q_2,\dots,q_N)</math>，其內中表示位置的點稱為'''位形點'''。想像這物理系統移動於這[[位形空間]]。在這位形空間裏，廣義力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}=(F_1,F_2,\dots,F_N)</math>垂直於符合約束條件的虛位移<math>\delta\mathbf{q}=(\delta q_1,\delta q_2,\dots,\delta q_N)</math>。

假設，這物理系統沒有任何約束條件，則虛位移可以是任意向量。但是，廣義力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>不可能垂直於<math>N</math>維位形空間裏的每一個向量，所以，廣義力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>必須等於零。

假設，這物理系統有<math>L</math>個約束條件，則自由度為<math>N - L</math>，位形點必需處於位形空間的某<math>N - L</math>維[[子空間]]，而廣義力<math>\boldsymbol{\mathcal{F}}</math>必須垂直於這[[子空間]]，因此必需使用<math>N - L</math>個運動方程式來表達這物理系統。

===保守系統===
假設這系統是[[保守系統]]，則每一個廣義力都是[[标量 (物理学)|純量]]的[[廣義位勢]][[函數]]<math>V(q_1,q_2,\dots,q_N)</math>的對於其對應的廣義坐標的負[[偏導數]]：
:<math>F_{i} = - \frac{\partial V}{\partial q_i}</math>。

虛功與廣義位勢的關係為
:<math>\delta W = \sum_{i}  - \frac{\partial V}{\partial q_i} \delta q_i = - \delta V=0</math>。

由於位勢的[[變分法|變分]]<math>\delta V</math>等於零，一個靜態平衡系統的位勢<math>V</math>乃是個局域平穩值。注意到這系統只處於平穩狀態。假設，要求這系統處於穩定狀態，則位勢<math>V</math>必須是個局域[[極小值]]。

==參見==
*{{link-en|柔度法|flexibility method}}
*[[拉格朗日力学]]
*[[哈密頓力学]]

==參考文獻==
<small>
<references/>
</small>

==外部連結==
* [http://sameradeeb.srv.ualberta.ca/variational-principles/the-principle-of-virtual-work/ 虚功原理的应用实例] {{Wayback|url=http://sameradeeb.srv.ualberta.ca/variational-principles/the-principle-of-virtual-work/ |date=20221201062305 }}{{en}}

{{經典力學}}
[[Category:力學|X]]
[[Category:經典力學|X]]
[[Category:靜力學|X]]