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'''處處不連續函數'''是一[[數學]]名詞，是指在其[[定義域]]上的每一點都不連續的[[函數]]。若''f''(''x'')為一函數，定義域和值域都是[[實數]]，若針對每一個''x''，都存在ε&nbsp;&gt;&nbsp;0 ，使得針對每一個δ&nbsp;&gt;&nbsp;0，都可以找到''y''，使下式成立，則''f''(''x'')為處處不連續函數：
:0< |''x''&nbsp;−&nbsp;''y''|&nbsp;&lt;&nbsp;δ 且|''f''(''x'')&nbsp;−&nbsp;''f''(''y'')|&nbsp;≥&nbsp;ε

換句話說，不論距固定點多近，都有距固定點更近的點使函數的值偏離固定點對應的值。例如[[狄利克雷函数]]就是一個處處不連續函數。

處處不連續函數的性質不是函數典型的現象，有[[病态 (数学)|病態]]特性。

若將定義中的[[絕對值]]改為[[度量空间]]中的距離或是[[拓扑空间]]中的類似名詞．即可定義更泛用的處處不連續函數。
==處處不連續函數的範例==
===狄利克雷函数===
{{main|狄利克雷函数}}
狄利克雷函数（{{lang-en|Dirichlet function}}）是一个定义在[[实数]]范围上、[[值域]]为<math>\{0,1\}</math>的不连续[[函数]]，是有理數的[[指示函数]]。

当
#自变量<math>x</math>为[[有理数]]时，<math>f(x) = 1</math>；
#自变量<math>x</math>为[[无理数]]时，<math>f(x) = 0</math>。

將此例擴展來看，若<math>E</math>是[[拓扑空间]]<math>X</math>裡的子集，使得<math>E</math>和其補集在空間<math>X</math>內都是[[稠密集]]，則<math>E</math>的指標函數（若在<math>E</math>內，其值為1，不在<math>E</math>內，其值為0）就會是處處不連續函數。最早研究這類函數的人是[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷]]<ref>{{cite journal | first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données | journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik | volume = 4 | year = 1829 | url = https://eudml.org/doc/183134 | pages = 157–169 | access-date = 2024-10-05 | archive-date = 2024-10-07 | archive-url = https://web.archive.org/web/20241007151748/https://eudml.org/doc/183134 | dead-url = no }}</ref>。

===其他函數===
[[康威十三进制函数]]也是處處不連續函數，此函數是由英國數學家[[約翰·何頓·康威|約翰·康威]]所構建的，此函數和連續函數一樣，具有[[介值定理|介值性]]，但卻是處處不連續函數。

==超实数特性==
一實數函數''f''為處處不連續，若其[[超实数_(非标准分析)|超实数]]延伸有以下的特性：每一個無限接近一個''x''都有一個無限接近的點''y''，使得距離''f(x)-f(y)''不是[[無窮小量]]。

==相關條目==
*{{link-en|Thomae函數|Thomae's function}}：在無理數下連續，但在有理數下不連續的函數。
*[[魏尔斯特拉斯函数]]：一個處處連續，但處處不可微分的函數。
==參考資料==
{{reflist}}
==外部連結==
* {{springer|title=Dirichlet-function|id=p/d032860}}
* [http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html Dirichlet Function — from MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/DirichletFunction.html |date=20210506124110 }}
* [https://web.archive.org/web/20190502165330/http://demonstrations.wolfram.com/TheModifiedDirichletFunction/ The Modified Dirichlet Function] by George Beck, The Wolfram Demonstrations Project.
[[Category:拓扑学]]
[[Category:数学分析]]