查看“︁蘇斯林問題”︁的源代码

在數學上，'''蘇斯林問題'''是由{{link-en|米哈伊爾·雅科夫列維奇·蘇斯林|Mikhail Yakovlevich Suslin}}提出關於[[全序]]集合的問題，在1920年提出，這問題在他死後出版。目前已知這問題[[獨立性 (數理邏輯)|獨立]]於標準的集合論公理系統，也就是帶有[[選擇公理]]的[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]。梭羅維和滕博姆（Tennenbaum, S.）在1971年證明：在假定[[策梅洛-弗蘭克爾集合論]]一致的狀況下，這問題無法證明或反證。

{{quotebox|right|width=50%
|quote={{lang|fr|Un ensemble ordonné (linéairement) sans sauts ni lacunes et tel que tout ensemble de ses intervalles (contenant plus qu'un élément) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus dénumerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire)?}}<br>一個沒有跳躍或間隔、且其所有的區間（包含多於一個元素）的集合彼此不重合且至多可數的（線性）有序集必然是（一般的）線性連續統嗎？
|source=蘇斯林在1920年對蘇斯林問題的原始陳述
}}

==形式化==
蘇斯林問題所問的是，若有一個[[非空]][[全序]]集<math>R</math>，而這<math>R</math>有以下的性質：

# <math>R</math>沒有 [[最大與最小元]]；
# <math>R</math>的序列是{{link-en|稠密序列|dense order|稠密的}}（也就是在兩個不同元素中間總有別的元素）
# <math>R</math>的序列是{{link-en|完備序列|completeness (order theory)|完備的}}，也就是說，其所有的非空有界子集都有{{link-en|上界與下界|Infimum and supremum}}
# <math>R</math>所有彼此不相交的非空開區間的搜集是可數的（也就是<math>R</math>的[[序拓撲]]上的[[可數鏈條件]]）
在這種條件下，<math>R</math>必然是與[[實數線]][[序同構]]的嗎？

若將「可數鏈條件」的要求換成<math>R</math>有一個可數的稠密子集（也就是<math>R</math>是一個[[可分空間]]），那這答案就是「是」：所有這樣的<math>R</math>在這種狀況下與實數線序同構，而這點為[[康托爾]]所證明。

一個[[拓撲空間]]的所有非空[[開集]]的搜集是至多可數的這條件又稱為'''蘇斯林性質'''。

==影響==
任何滿足條件1至4但「不」同構於實數線的全序集合又稱作'''蘇斯林線'''；而'''蘇斯林猜想'''所講的是沒有蘇斯林線，也就是說所有具有可數鏈條件且沒有上下界的稠密完備線性序列與實數線同構；而一個等價的陳述是任何高度為<math>\omega_1</math>的[[樹 (集合論)|樹]]具有高度為<math>\omega_1</math>的{{link-en|分支（描述集合論）|Branch (descriptive set theory)|分支}}或者大小為<math>\aleph_1</math>的[[反鏈]]。

'''一般化蘇斯林猜想'''指的是對於任意無限{{link-en|正則基數|regular cardinal}}<math>\kappa</math>而言，所有高度為<math>\kappa</math>的樹，要不具有長度為<math>\kappa</math>的分支或者大小為<math>\kappa</math>的反鏈；而蘇斯林線的存在性，與{{link-en|蘇斯林樹|Suslin tree}}和{{link-en|蘇斯林代數|Suslin algebra}}的存在性等價。

蘇斯林猜想獨立於帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。葉赫（Jech）在1967年與滕博姆（Tennenbaum）在1968年各自獨立地用[[力迫]]法建構出一個帶有蘇斯林線的ZFC模型。{{link-en|羅納德·延森|Ronald Jensen}}之後證明了說在假定[[鑽石原則]]（這是{{link-en|可構造性公理|Axiom of constructibility}}<math>V = L</math>的一個結果）的狀況下蘇斯林線存在；而在另一方面，梭羅維和滕博姆在1971年用力迫法構造出了一個不包含蘇斯林線的ZFC模型；此外，他們還證明說在假定[[馬丁公理]]成立且連續統假設不成立的狀況下，蘇斯林猜想成立。

蘇斯林猜想獨立於[[連續統假設#廣義連續統假設|廣義連續統假設]]及連續統假設不成立的假定，而目前不知道蘇斯林猜想是否與廣義連續統假設相容；然而，由於這組合蘊含說{{link-en|方形原則|Square principle}}在一個單一的強{{link-en|極限基數|Limit cardinal}}下不成立之故，這表示說[[決定公理]]在{{link-en|L(R)|}}中成立，且一般相信說這蘊含了一個帶有{{link-en|超強基數|Superstrong cardinal}}的[[內模型]]。

==參見==
* [[ZFC系統無法確定的命題列表]]
* {{link-en|AD+|}}
* {{link-en|康托爾同構定理|Cantor's isomorphism theorem}}

==參考資料==
* K. Devlin and H. Johnsbråten, The Souslin Problem, Lecture Notes in Mathematics (405) Springer 1974.
* {{citation|mr=0215729
|last=Jech|first= Tomáš
|title=Non-provability of Souslin's hypothesis
|journal=Comment. Math. Univ. Carolinae |volume=8 |year=1967 |pages=291–305}}
* {{citation
|title=Problème 3
|last=Souslin
|first=M.
|journal=Fundamenta Mathematicae
|volume=1
|year=1920
|page=223
|doi=10.4064/fm-1-1-223-224
|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm1/fm1125.pdf
|doi-access=free
|accessdate=2022-07-27
|archive-date=2022-01-21
|archive-url=https://web.archive.org/web/20220121001422/http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm1/fm1125.pdf
|dead-url=no
}}
* {{citation
|last1=Solovay
|first1=R. M.
|last2=Tennenbaum
|first2=S.
|title=Iterated Cohen Extensions and Souslin's Problem
|journal=Annals of Mathematics
|date=1971
|volume=94
|issue=2
|pages=201–245
|doi=10.2307/1970860
|jstor=1970860}}
* {{citation|mr=0224456
|last=Tennenbaum
|first= S.
|title=Souslin's problem.
|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.
|volume= 59
|year=1968
|issue=1
|pages= 60–63
|doi=10.1073/pnas.59.1.60
|pmc=286001
|pmid=16591594|bibcode=1968PNAS...59...60T
|doi-access=free
}}
* {{springer
|id=S/s091460
|first=V. N.
|last=Grishin
|title=Suslin hypothesis}}

{{集合論}}

[[Category:獨立結果]]
[[Category:序理論]]