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[[Image:Kobon triangles.gif|right|frame|此問題使用三條、四條與五條筆直線段之解。]]

'''藤村幸三郎的三角形問題'''（Kobon triangle problem）是一個[[離散幾何]]上未解決的問題，該問題首先由[[藤村幸三郎]]（Kobon Fujimura）提出。這個問題問說「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形最多有多少個？」。一些此問題的變體問的是在[[射影平面]]上的狀況，且要求其中的三角形不能為該直線排列中的各線給穿過。<ref name="forge">{{citation|title=Straight line arrangements in the real projective plane|first1=D.|last1=Forge|first2=J. L.|last2=Ramírez Alfonsín|journal=[[Discrete and Computational Geometry]]|volume=20|issue=2|pages=155–161|year=1998|doi=10.1007/PL00009373}}.</ref>

[[田村三郎]]證明說此問題的最大整數解之值不超過<math>\frac{k(k-2)}{3}</math>，這為「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」解提供了一個上界。<ref>{{cite mathworld|urlname=KobonTriangle|title=Kobon Triangle}}</ref>

在2007年，約翰尼斯‧巴德（Johannes Bader）和吉萊‧克雷蒙（Gilles Clément）發現了一個較小的上界，他們證明說當k除以6的餘數為0或2時，該k值對此問題答案的上界會比田村氏所給出的上界要來得小。<ref>{{Cite web |url=http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |title=G. Clément and J. Bader. Tighter Upper Bound for the Number of Kobon Triangles. Draft Version, 2007. |access-date=2013-05-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20171111045109/http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/publicationListFiles/cb2007a.pdf |archive-date=2017-11-11 |dead-url=yes }}</ref>在這些k值中，其上界值會為田村氏給出的上界值減一。

此問題的「完美解」（與理論最大值相合的已知最佳解）在''k'' = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 15 和 17的狀況下是已求出的<ref>{{Cite web |url=http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_02_08_06.html |title=Ed Pegg Jr. on Math Games |access-date=2013-05-23 |archive-date=2013-06-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130602000823/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_02_08_06.html |dead-url=no }}</ref> ；在''k'' = 10, 11 和 12的狀況下，目前已知的最佳解比其理論上界要小一個值。

藉由使用佛吉（D. Forge）和羅米瑞茲─阿爾豐森（J. L. Ramirez Alfonsin）兩氏提供的方法<ref name="forge" /><ref>{{Cite web |url=http://www.johannesbader.ch/#kobon |title="Matlab code illustrating the procedure of D. Forge and J. L. Ramirez Alfonsin", Retrieved on 9 May 2012. |access-date=2013-05-23 |archive-date=2021-03-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210308213936/https://johannesbader.ch/#kobon |dead-url=no }}</ref>，在已知''k<sub>0</sub>''條線狀況下的完美解的狀況下，亦可知此問題對形如<math>k_{n+1} = 2\cdot k_{n} - 1,\!\,</math>的各數字k<sub>i</sub>的（完美）解，像例如當''k<sub>0</sub>'' = 3時，在''k'' = 3,5,9,17,33,65,...等的狀況下，「對k條線進行排列，則在此直線排列（Arrangement of lines）中，以這k條線為邊且彼此不重疊的三角形的數量的最大值」亦可求出。

{{-}}
{| class="wikitable"
|-
| '''k'''|| '''3'''|| '''4'''|| '''5'''|| '''6'''||  '''7'''||  '''8'''||  '''9'''|| '''10'''|| '''11'''|| '''12'''|| '''13'''|| '''14'''|| '''15'''|| '''16'''|| '''17'''|| '''18'''|| '''19''' || '''20''' || '''21''' || [[OEIS]]
|-
| 田村氏的上界 ||  1|| 2|| 5|| 8|| 11|| 16|| 21|| 26|| 33|| 40|| 47|| 56|| 65|| 74|| 85|| 96|| 107 ||120||133 || {{OEIS link|A032765}}
|-
| 克雷蒙與巴德二氏的上界 ||  1|| 2|| 5|| 7|| 11|| 15|| 21|| 26|| 33|| 39|| 47|| 55|| 65|| 74|| 85|| 95|| 107 ||119||133 || -
|-
| 已知的最佳解 ||  1|| 2|| 5|| 7|| 11|| 15|| 21|| 25|| 32|| 38|| 47|| 53|| 65|| 72|| 85 || 93|| 104 || 115 || 130 || {{OEIS link|A006066}}
|}

== 範例 ==
<gallery>
Image:KobonTriangle_3.svg|三條直線的狀況，此情況下為一三角形
Image:KobonTriangle_4.svg|四條直線的狀況
Image:KobonTriangle_5.svg|五條直線的狀況
Image:KobonTriangle_6.svg|六條直線的狀況
Image:KobonTriangle_7.svg|七條直線的狀況
</gallery>

==參照==
{{Reflist}}

==外部連結==
*Johannes Bader, [https://web.archive.org/web/20160303180311/http://www.tik.ee.ethz.ch/sop/people/baderj/?page=other.php "Kobon Triangles"]

[[Category:離散幾何]]
[[Category:數學中未解決的問題]]
[[Category:趣味數學]]
[[Category:三角形]]