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'''藏本模型'''（Kuramoto model）是一种用来描述[[同步]]的[[数学模型]]，由日本物理学家[[藏本由纪]]（Kuramoto Yoshiki）首先提出<ref>Kuramoto, Yoshiki (1975). H. Araki, ed. Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics. 39. Springer-Verlag, New York. p. 420. </ref><ref>Kuramoto Y (1984). Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence. New York, NY: Springer-Verlag. </ref>。具体说来，它描述了大量耦合[[振荡|振子]]的同步行为<ref>Strogatz S (2000). "From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators". Physica D. 143 (1–4): 1–20. Bibcode:2000PhyD..143....1S. doi:10.1016/S0167-2789(00)00094-4. </ref><ref>Acebrón, Juan A.; Bonilla, L. L.; Vicente, Pérez; Conrad, J.; Ritort, Félix; Spigler, Renato (2005). "The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena" (PDF). Reviews of Modern Physics. 77 (1): 137–185. Bibcode:2005RvMP...77..137A. doi:10.1103/RevModPhys.77.137. </ref>。这个模型原本是为了描述化学振子、生物振子而构建，后发现具有广泛的应用，例如[[神经振荡]]<ref>Cumin, D.; Unsworth, C. P. (2007). "Generalising the Kuromoto model for the study of neuronal synchronisation in the brain". Physica D. 226 (2): 181–196. Bibcode:2007PhyD..226..181C. doi:10.1016/j.physd.2006.12.004. </ref><ref>Breakspear M, Heitmann S, Daffertshofer A (2010). "Generative models of cortical oscillations: Neurobiological implications of the Kuramoto model". Front Hum Neurosci. 4. doi:10.3389/fnhum.2010.00190. PMID 21151358. |article= ignored (help) </ref><ref>Cabral J, Luckhoo H, Woolrich M, Joensson M, Mohseni H, Baker A, Kringelbach ML, Deco G (2014). "Exploring mechanisms of spontaneous functional connectivity in MEG: How delayed network interactions lead to structured amplitude envelopes of band-pass filtered oscillations". NeuroImage. 90: 423–435. doi:10.1016/j.neuroimage.2013.11.047. PMID 24321555. </ref>，以及振荡火焰的动力学<ref>Sivashinsky, G.I. (1977). "Diffusional-thermal theory of cellular flames". Combust. Sci. And Tech. 15 (3–4): 137–146. doi:10.1080/00102207708946779. </ref><ref>Forrester, D.M. (2015). "Arrays of coupled chemical oscillators". Scientific Reports. 5: 16994. arXiv:1606.01556. Bibcode:2015NatSR...516994F. doi:10.1038/srep16994. PMID 26582365. </ref>。惊人的是，一些物理系统的行为也符合这个模型，比如耦合[[约瑟夫森效应|约瑟夫森结]]的阵列<ref>Steven Strogatz, Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order, Hyperion, 2003. </ref>。

这个模型假设，所有振子都是完全相同的或几乎完全相同的，相互之间的耦合很弱、并且任意两个振子之间的相互作用强度取决于它们相位差的正弦。

== 定义 ==
在藏本模型最常见的版本中，每个振子都有一个固有的[[自然頻率|自然频率]]<math>\omega_i</math>，并与所有其它振子以相同的强度耦合。惊人的是，在<math>N\to\infty</math>的极限下，通过巧妙的变换并使用平均场方法，这个完全[[非線性系統|非线性]]的模型是可以精确求解的。
[[File:KuramotoModelPhaseLocking.ogv|缩略图|藏本模型中的锁相]]
这个模型最常见的形式由以下方程组给出：

<math>\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}},\quad i=1,\cdots,N</math>

系统由<math>N</math>个极限环振子组成，<math>\theta_i</math>是第<math>i</math>个振子的相位，<math>K</math>是耦合强度。

也可以在系统中加入噪声。这种情况下，方程变为

<math>\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sin{(\theta_j-\theta_i)}}+\zeta_i,\quad i=1,\cdots,N</math>

其中<math>\zeta_i</math>是涨落，并且是时间的函数。如果考虑白噪声的情况，则：

<math>\langle\zeta_i(t)\rangle=0,</math>

<math>\langle\zeta_i(t)\zeta_j(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')</math>

其中<math>D</math>代表噪声强度。

== 变换 ==
使得这个模型（至少在<math>N\to\infty</math>的极限下）能够精确求解的变换如下所示：

定义“序”参量

<math>Re^{i\psi}=\frac 1N\sum_{j=1}^N{e^{i\theta_j}}</math>

<math>R</math>表征了这群振子的相位[[相干性|相关性]]，<math>\psi</math>是平均相位。方程两边乘以<math>e^{-\text{i}\theta_i}</math>，只考虑虚部得到：

<math>\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i+KR\sin{(\psi-\theta_i)}</math>

因此振子的方程组就不是显式耦合的；相反，序参量支配了系统的行为。通常还会做进一步的变换，变换到一个转动的坐标系，其中所有振子相位的统计平均为零（即<math>\psi=0</math>）。最终，方程变为：

<math>\frac{d\theta_i}{dt}=\omega_i-KR\sin{\theta_i}</math>

== 大N极限 ==
考虑<math>N\to\infty</math>的情况。自然频率的分布记为<math>g(\omega)</math>（假设已经归一化）。设在时刻<math>t</math>，在所有自然频率为<math>\omega</math>的振子中，相位为<math>\theta</math>的振子所占比例为<math>\rho(\theta,\omega,t)</math>。归一化要求

<math>\int_0^{2\pi}{\rho(\theta,\omega,t)d\theta}=1</math>

振子密度的[[連續性方程式|连续性方程]]为

<math>\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial\theta}=0</math>

其中<math>v=\omega+KR\sin{(\psi-\theta)}</math>是振子的漂移速度。

最终，在连续统极限下重新写出序参量。<math>\theta_i</math>应该用系综平均来代替，求和替换为积分，得到

<math>Re^{i\psi}=\int_0^{2\pi}{\int_{-\infty}^\infty{\rho(\theta,\omega,t)g(\omega)e^{i\theta}d\omega}d\theta}</math>

== 解 ==
所有振子随机漂移的[[相干性|不相关]]态对应均匀分布解<math>\rho=\frac 1{2\pi}</math>。这种情况<math>R=0</math>，振子之间没有关联。系统整体处于统计[[穩態 (系統)|稳定态]]，尽管每个振子单独来看都在以自然频率不停运动。

当耦合足够强时，可能会出现完全同步的解。在完全同步态中，所有振子以相同频率运动，但相位可以不同。

部分同步是只有一些振子同步，而另一些振子自由漂移的状态。从数学上来说，对锁相的振子

<math>\rho=\delta\left(\theta-\psi-\arcsin{\frac\omega{KR}}\right)</math>

对漂移的振子，

<math>\rho\propto\frac 1{\omega-KR\sin{(\theta-\psi)}}</math>

== 与哈密顿系统的联系 ==
耗散的藏本模型包含在某些保守的[[哈密顿力学|哈密顿系统]]中<ref>Witthaut, Dirk; Timme, Marc (2014). "Kuramoto Dynamics in Hamiltonian Systems". Phys. Rev. E. 90 (3): 032917. arXiv:1305.1742. Bibcode:2014PhRvE..90c2917W. doi:10.1103/PhysRevE.90.032917. PMID 25314514. </ref>，[[哈密顿力学|哈密顿量]]具有形式：

<math>\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\frac 12\omega_i(q_i^2+p_i^2)}+\frac K{4N}\sum_{i,j=1}^N{(q_ip_j-q_jp_i)(q_j^2+p_j^2-q_i^2-p_i^2)}</math>

用正则变换变成作用量-角度的形式，作用量为<math>I_i=\frac 12(q_i^2+p_i^2)</math>，角度（相位）<math>\theta_i=\arctan{\frac{q_i}{p_i}}</math>，在作用量<math>I_i\equiv I</math>为常数的不变流形上就是藏本动力学。变换后的哈密顿量

<math>\mathcal{H}=\sum_{i=1}^N{\omega_i I_i}-\frac KN\sum_{i=1}^N{\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}}</math>

哈密顿运动方程为

<math>\frac{dI_i}{dt}=-\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial\theta_i}=-\frac {2K}N\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_jI_i}(I_j-I_i)\cos{(\theta_j-\theta_i)}}</math>

<math>\frac{d\theta_i}{dt}=\frac{\partial\mathcal{H}}{\partial I_i}=\omega_i+\frac KN\sum_{j=1}^N{\sqrt{I_j/I_i}(I_i+I_j)\sin{(\theta_j-\theta_i)}}</math>

因为<math>\frac{dI_i}{dt}=0</math>，所以<math>I_i=I</math>确定的流形是不变的，并且相位动力学<math>\frac{d\theta_i}{dt}</math>就是藏本模型的动力学。这类哈密顿系统描述了某些量子-经典系统，包括[[玻色–爱因斯坦凝聚|玻色-爱因斯坦凝聚]]。

== 模型的变体 ==
模型有两种类型的变体，一种改变模型的拓扑结构，另一种改变耦合函数的形式。

=== 改变拓扑 ===
除了具有全连拓扑的原始模型，足够稠密的[[复杂网络]]拓扑也可以用同样的平均场处理<ref>Rodrigues, F. A.; Peron, T.K.; Ji, P.; Kurths, J. (2016). "The Kuramoto model in complex networks". Physics Reports. 610 (1): 1–98. arXiv:1511.07139. Bibcode:2016PhR...610....1R. doi:10.1016/j.physrep.2015.10.008. </ref>。而对于局域的行为，例如链形或环形网络上的情况，不能再使用经典的平均场方法，所以只能具体问题具体分析，尽可能利用对称性获取解的信息。

=== 改变相位的相互作用 ===
藏本把两个振子之间的相位相互作用用第1个傅里叶分量来近似，即<math>\Gamma(\phi)=\sin\phi</math>，其中<math>\phi=\theta_j-\theta_i</math>。通过把高阶傅里叶分量包括进来，可以得到更好的近似

<math>\Gamma(\phi)=\sin\phi+a_1\sin{(2\phi+b_1)}+\cdots+a_n\sin{(2n\phi+b_n)}</math>

例如，对于弱耦合Hodgkin-Huxley神经元的网络，其同步行为可以用一些振子来表示，这些振子的相互作用函数保留前四阶傅里叶分量<ref>Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Phase Dynamics for Weakly Coupled Hodgkin-Huxley Neurons". Europhysics Letters. 23 (5): 367–372. Bibcode:1993EL.....23..367H. doi:10.1209/0295-5075/23/5/011. </ref>。高阶项的引入也能带来有趣的同步现象，例如[[异宿环]]<ref>Hansel, D.; Mato, G.; Meunier, C (1993). "Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators". Physical Review E. 48 (5): 3470–3477. Bibcode:1993PhRvE..48.3470H. doi:10.1103/physreve.48.3470. </ref>、部分同步态<ref>Clusella, Pau; Politi, Antonio; Rosenblum, Michael (2016). "A minimal model of self-consistent partial synchrony". New Journal of Physics. 18 (9): 093037. doi:10.1088/1367-2630/18/9/093037. ISSN 1367-2630. </ref>、以及奇美拉态<ref>Abrams, D.M.; Strogatz, S.H. (2004). "Chimera states for coupled oscillators". Physical Review Letters. 93 (17): 174102. arXiv:nlin/0407045. Bibcode:2004PhRvL..93q4102A. doi:10.1103/physrevlett.93.174102. PMID 15525081. </ref>。

== 参考资料 ==
<references />

[[Category:偏微分方程]]