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在[[仿射幾何]]和[[歐氏幾何]]中，'''[[萊布尼茨]]向量和標量函數'''是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和[[重心 (仿射幾何)|重心]]關係密切；用重心可以給出函數的簡潔形式。

== 萊布尼茨向量函數 ==
考慮仿射空間<math>E</math>和相伴的向量空間<math>V</math>。設<math>(A_i)_{i=1 \cdots n}</math>是<math>n</math>點的族，<math>(a_i)_{i=1 \cdots n}</math>是<math>n</math>數量的族。與系統<math>\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}</math>相伴的萊布尼茨向量函數是從<math>E</math>到<math>V</math>的映射，把點<math>M</math>對應到向量<math>\vec f(M) = \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{MA_i}</math>。

設係數和<math>\sum_{i=1}^n a_i</math>為零，那麼函數是常值。如果有一個係數非零（例如<math>a_1</math>），這常值等於<math>a_1\overrightarrow{G_1A_1}</math>，其中<math>G_1</math>是系統<math>\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=2 \cdots n}\right \}</math>的重心。

設係數和非零，函數可化簡成
: <math>\vec f(M) = \left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\overrightarrow{MG}</math>
這個性質使得多個向量的[[線性組合]]可以藉由[[重心 (仿射幾何)|重心]]化簡成一個向量。如果向量空間是有限維，由此可以給出重心的座標。

其實<math>\overrightarrow{OG} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i}\vec f(O) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i \overrightarrow{OA_i}</math>。 

把上式轉為座標就是
: <math>x_{G,k} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n a_i} \sum_{i=1}^n a_i x_{A_i,k}</math>

== 萊布尼茨標量函數 ==
考慮[[歐幾里得空間|歐幾里得仿射空間]]<math>E</math>和相伴的域<math>\mathbb K</math>。設<math>(A_i)_{i=1 \cdots n}</math>是<math>n</math>點的族，<math>(a_i)_{i=1 \cdots n}</math>是<math>n</math>數量的族。與系統<math>\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}</math>相伴的萊布尼茨標量函數，是從<math>E</math>到<math>\mathbb K</math>的映射，把點M對應到數量<math>f(M) = \sum_{i=1}^n a_i MA_i^2</math>。

設係數和<math>\sum_{i=1}^n a_i</math>為零，那麼函數可化簡成
: <math>f(M) = f(O) + 2\overrightarrow{MO}\cdot \vec u</math>
其中<math>\vec u</math>等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值，<math>O</math>是任意固定點。

設係數和非零，那麼函數可化簡成
: <math>f(M) = f(G) +  \left(\sum_{i=1}^n a_i\right) MG^2</math>
其中<math>G</math>是系統<math>\left\{\left(A_i,a_i\right)_{i=1 \cdots n}\right \}</math>的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決（見[[萊布尼茨定理]]）。

''例''：在2維情形，集<math>M</math>適合<math>f(M) = k</math>的是
* 當係數和為零
** 與<math>\vec u</math>垂直的直線，如果<math>\vec u</math>非零
** 整個平面或空集（取決於<math>k</math>的值），如果<math>\vec u</math>為零
* 當係數和非零
** 圓心為<math>G</math>的圓，點<math>G</math>或空集（取決於<math>k</math>的值）

== 參見 ==
* [[萊布尼茨定理]]
* [[重心 (仿射幾何)]]
[[Category :仿射幾何]]
[[Category :欧几里得几何]]
[[Category:函数]]