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{{unsolved|數學|對於每個非1的[[正整數]]k，皆存在正整數g(k)，使得每個正整數都可以表示為g(k)個非負整數的k次方之和。}}
'''华林问题'''（{{lang-en|Waring's problem}}）是[[数论]]中的问题之一。1770年，[[爱德华·华林]]猜想，对于每个非1的正整数k，皆存在正整数g(k)，使得每个正整数都可以表示为g(k)个非負整數的k次方之和。

==與四平方和定理之關係==
在三世纪時，数学家[[丢番图]]首先提出「是否每一個正整數都是四個平方數之和」的問題。1730年，[[萊昂哈德·歐拉|欧拉]]開始研究該問題，但未得出證明。<ref name=shape>{{cite journal|author=吳振奎|title=幾個與“形數”有關的問題|journal=數學傳播|volume=29|issue=1|pages=64-74|url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d291/29107.pdf|accessdate=2015-02-15|date=2005年3月|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304115708/http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d291/29107.pdf|dead-url=no}}</ref>

第一个給出完整证明的是[[约瑟夫·拉格朗日|拉格朗日]]，他的证明用了欧拉的一个公式：
:<math>(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=(ax+by+cz+dw)^2 +(ay-bx+cw-dz)^2 + (az-bw-cx+dy)^2 + (aw+bz-cy-dx)^2</math>
後來歐拉也給出另一證明。<ref name=shape/>

==华林猜想==
1770年，华林发表了《代数沉思录》（Meditationes Algebraicae），其中说，每一个正整数至多是9个立方数之和；至多是19个四次方之和<ref name=shape/>。还猜想，每一个正整数都是可以表示成为至多r个k次[[幂]]之和，其中r依赖于k。

==研究进展 ==
1909年，[[大卫·希尔伯特]]首先用复杂的方法证明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克给出了关于g(k)存在性的另一个证明。然而，尽管g(k)的存在性已被证明，人们尚且无法知晓g(k)与k之间的关系。华林自己推测g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

1770年，[[拉格朗日]]证明了[[四平方和定理]]，指出g(2)=4。1909年[[亚瑟·韦伊费列治]]证明了g(3)=9。

1859年，[[刘维尔]]证明了g(4)<=53，他的想法是借助一个恒等式（Liouville polynomial identity）：
:<math>6n^2=6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j }\left(x_i+y_j\right)^4+\sum_{i<j}\left(x_i-y_j\right)^4</math>

後來[[哈代]]和[[李特尔伍德]]得到g(4)<=21, 1986年[[巴拉苏布拉玛尼安]]证明了g(4)=19。1896年[[马力特]]得到g(5)<=192；1909年韦伊费列治将结果改进为g(5)<=59；1964年[[陈景润]]证明了g(5)=37。<ref>{{cite mathworld|title=Waring's Problem|urlname=WaringsProblem}}</ref>

事实上，[[莱昂哈德·欧拉]]之子[[J.A.欧拉]]猜想：<math>g (k) = 2^k + \lfloor (3/2)^k \rfloor - 2</math>（"<math>\lfloor q \rfloor</math>"表示对"q"向下取整）（也就是只要看小於3<sup>k</sup>的正整數當中，最多只需要幾個k次方數的和，就可以了，例如k=4的情形，小於81的數字當中，最多的就是79，需要19個四次方數，因此有g(4)=19）至1990年，对于6<=k<=471600000此式已经被计算机验证为正确。<ref>{{cite journal|author=JM Kubina, MC Wunderlich|title=Extending Waring's  conjecture to 471,600,000|journal=Mathematics of Computation|issue=55|pages=815-820|doi=10.1090/S0025-5718-1990-1035936-6|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1990-55-192/S0025-5718-1990-1035936-6/S0025-5718-1990-1035936-6.pdf|accessdate=2015-02-14|date=1|archive-date=2019-11-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20191112043738/https://www.ams.org/journals/mcom/1990-55-192/S0025-5718-1990-1035936-6/S0025-5718-1990-1035936-6.pdf|dead-url=no}}</ref>

== 更强的问题==
由于g(k)的值严重依赖于正整数较小时的情况{{cn}}，人们提出了一个更强的问题，求对于每个充分大的正整数，可使它们分解为k次方数的个数G(k)。此问题进展较慢，至今G(3)仍无法确定。

==其他推廣==
===华林-哥德巴赫问题===
陳述：對於任何一個正整數n，是否存在一個數k，使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和？

此問題在1938年已被[[華羅庚]]證明成立。
===表法数问题===
任给一个正整数都是可以表为四个平方数之和。进一步，给定一个正整数，表示成为四个平方数的不同表示法有多少种？這問題已由[[卡爾·雅可比|雅可比]]給出了解答。

但是，对于立方和，四次方和等等的情況，仍然非常困难。{{cn}}
===不限于正整数===
考虑用[[有理数]]的方幂和来表示正有理数。

==参考资料==
{{reflist}}

{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 11|Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem)}}

[[Category:加性数论]]
[[Category:数学问题]]
[[Category:数论未解决问题]]
[[Category:数论中的平方]]