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{{refimprove|time=2014-10-25T09:07:10+00:00}}
{{NoteTA
|G1=Math
|G2=物理學
|1=zh-cn:引力势能;zh-tw:重力位能
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[[File:Lane-emden.JPG|thumb|200px|n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 時的莱恩－埃姆登方程解。]]
'''莱恩－埃姆登方程'''（'''Lane–Emden equation'''）是天文物理中一個表現自重力位能，球對稱[[多方過程|多方流體]]的無因次[[泊松方程]]。此方程式名字由來於[[強納生·荷馬·萊恩]]與[[羅伯特·埃姆登]]。此方程式的解表示了恆星在半徑 <math> r </math> 時的壓力與密度，方程式中並有重構徑向變數 <math>\xi</math> 和重構溫度變數 <math>\theta</math>：

: <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 </math>

當

: <math> \xi = r \left(\frac{4 \pi G \rho_c^2}{(n+1)P_c}\right)^{\frac{1}{2}} </math>

以及

: <math> \rho = \rho_c \theta^n \,</math>

下標 ''c'' 代表核心的壓力與密度。<math> n </math>是多方指數；多方指數與代表氣體壓力及密度的多方方程式有關係。

: <math> P = K \rho^{1 + \frac{1}{n}}\, </math>

<math>P</math> 是代表壓力，<math>\rho</math> 則是密度，而 <math>K</math> 則是比例常數。標準的邊界條件則是 <math>\theta(0)=1</math> 和 <math>\theta'(0)=0</math>。因此該方程式的解是描述恆星壓力和密度與半徑的關係，並且給定的多方指數 <math> n </math> 也是[[多方球]]的多方指數 <math> n </math>。流體靜力平衡與位能、密度、壓力梯度有關；泊松方程與位能、密度有關。

== 應用 ==
在物理學上，流體靜力平衡與位能梯度、密度和壓力梯度相關，而泊松方程則可以是位能和密度的關係式。因此如果有一個方程式可以進一步指出壓力和密度如何互相反映，就可以得到一個解。以上多方氣體的特定選項在數學上陳述了這個問題，尤其是該陳述特別簡潔並推導出了莱恩－埃姆登方程。這個方程式對於恆星等自重力位能氣體球是相當有用的近似，但它的假設通常是受到限制。

== 推導 ==
=== 以流體靜力平衡推導 ===
考慮到自重力位能、[[流體靜力平衡]]下的球對稱流體、質量守恆這些狀況，就可使用以下[[連續性方程式]]：

: <math> \frac{dm}{dr} = 4\pi r^2 \rho </math>

這裡 <math>\rho</math> 是 <math>r</math> 的函數。流體靜力平衡的公式成為：

: <math> \frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} = -\frac{Gm}{r^2} </math>

<math>m</math> 也是 <math>r</math> 的公式。再一次求導數可得：

: <math>\begin{align}
\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right) &= \frac{2Gm}{r^3}-\frac{G}{r^2}\frac{dm}{dr} \\
&=-\frac{2}{\rho r}\frac{dP}{dr}-4\pi G\rho
\end{align}</math>

這裡已經使用一個連續性方程式取代質量梯度。再將方程式兩側乘上 <math>r^2</math>，並將帶有 <math>P</math> 的導數的項置於左側，方程式成為：

: <math> r^2\frac{d}{dr}\left(\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)+\frac{2r}{\rho}\frac{dP}{dr}
=\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi Gr^2\rho </math>

方程式兩側除以 <math>r^2</math>，在某些意義上這是一維形式所需的方程式。此外，如果我們以多變方程 <math>P=K\rho_c^{1+\frac{1}{n}}\theta^{n+1}</math> 和 <math>\rho=\rho_c\theta^n</math> 代入，可得到：

: <math> \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2K\rho_c^\frac{1}{n}(n+1)\frac{d\theta}{dr}\right)=-4\pi G\rho_c\theta^n</math>

將常數聚集並以 <math>r=\alpha\xi</math> 取代： 

: <math>\alpha^2=(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}/4\pi G</math>, 

最後得到莱恩－埃姆登方程：

: <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + \theta^n = 0 </math>

=== 以泊松方程推導 ===
同樣地，也可以使用[[泊松方程]]進行推導：

: <math> \nabla^2\Phi=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left({r^2\frac{d\Phi}{dr}}\right) = -4\pi G\rho </math>

我們可以透過以下數學公式以流體靜力平衡取代位能梯度：

: <math> \frac{d\Phi}{dr}=\frac{1}{\rho}\frac{dP}{dr} </math>

最後也可以得到莱恩－埃姆登方程。

== 方程式解 ==
=== 解析解 ===
<math>n</math> 只在3個值時有解析解

==== <math>n=0</math> ====
如果 <math>n=0</math>，方程式成為：

: <math> \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi} \left({\xi^2 \frac{d\theta}{d\xi}}\right) + 1 = 0 </math>

重新整理並進行一次積分後的公式成為：

: <math> \xi^2\frac{d\theta}{d\xi} = C_1-\frac{1}{3}\xi^3 </math>

公式兩側都除以 <math>\xi^2</math>，並且再積分一次後得到：

: <math> \theta(\xi)=C_0-\frac{C_1}{\xi}-\frac{1}{6}\xi^2 </math>

邊界條件 <math>\theta(0)=1</math> 和 <math>\theta'(0)=0</math> 暗示[[積分常數]]是 <math>C_0=1</math> 和 <math>C_1=0</math>。

==== <math>n=1</math> ====
當 <math>n=1</math>，方程式可展開如下：

: <math>  \frac{d^2\theta}{d\xi^2}+\frac{2}{\xi}\frac{d\theta}{d\xi} + \theta = 0 </math>

兩端都乘以 <math>\xi^2</math> 可得到 <math>k=1</math> 和 <math>n=0</math> 的球[[貝索函數]]。套用了邊界條件以後的解將是：

: <math> \theta(\xi)=\frac{\sin\xi}{\xi} </math>

==== <math>n=5</math> ====
在經過一連串取代的步驟後，方程式可以有進一步的解：

: <math> \theta(\xi)=\frac{1}{\sqrt{1+\xi^2/3}} </math>

當 <math>n=5</math>，方程式的解將是循著徑向的無限大值。

=== 數值解 ===
一般情形下莱恩－埃姆登方程的解必須以數值積分方式求得。許多數值積分的標準解法要求該問題必須以一階[[常微分方程]]表示，例如：

: <math> \frac{d\theta}{d\xi}=-\frac{\phi}{\xi^2} </math>
: <math> \frac{d\phi}{d\xi}=\theta^n\xi^2 </math>

在這裡 <math>\phi(\xi)</math> 被視為無因次質量，而質量可使用 <math>m(r)=4\pi\alpha^3\rho_c\phi(\xi)</math> 表示。相關的邊界條件是 <math>\phi(0)=0</math> 和 <math>\theta(0)=1</math>。第一個方程式表現了流體靜力平衡，而第二個方程式則表示質量守恆。

== 同調變數 ==
=== 同調不變方程 ===
已知如果 <math>\theta(\xi)</math> 是莱恩－埃姆登方程的解，那麼完整的解方程式將是 <math>C^{2/n+1}\theta(C\xi)</math><ref>{{cite book|last=Chandrasekhar|first=Subrahmanyan|title=An introduction to the study of stellar structure|year=1939|publisher=University of Chicago Press|location=Chicago, Ill.|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1939isss.book.....C|author-link=苏布拉马尼扬·钱德拉塞卡}}</ref>。和這方式相關的解則稱為「同調」，而轉換的過程是同調性的。如果我們選擇不變的變數達到同調性，就可以將莱恩－埃姆登方程降一階計算。

而這類可選擇的變數有多個，一個適當的選擇是：

: <math>U=\frac{d\log m}{d\log r}=\frac{\xi^3\theta^n}{\phi}</math>

和

: <math>V=\frac{d\log P}{d\log r}=(n+1)\frac{\phi}{\xi\theta}</math>

我們可以將相對於 <math>\xi</math> 的變數的對數微分，得到：

: <math>\frac{1}{U}\frac{dU}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(3-n(n+1)^{-1}V-U)</math>
和
: <math>\frac{1}{V}\frac{dV}{d\xi}=\frac{1}{\xi}(-1+U+(n+1)^{-1}V)</math>.

最後，我們將以上兩個方程式相除以消去應變量 <math>\xi</math>，留下：

: <math>\frac{dV}{dU}=-\frac{V}{U}\left(\frac{U+(n+1)^{-1}V-1}{U+n(n+1)^{-1}V-3}\right)</math>

以上即為單一一階方程式。

=== 拓撲結構不變的同調方程 ===
同調性不變的方程式可被視為自主對方程式：

: <math>\frac{dU}{d\log\xi}=-U(U+n(n+1)^{-1}V-3)</math>

和

: <math>\frac{dV}{d\log\xi}=V(U+(n+1)^{-1}V-1)</math>

這些方程式的解的形式可透過以下線性穩定性分析來決定。方程式的[[臨界點 (數學)|臨界點]]（當 <math>dV/d\log\xi=dU/d\log\xi=0</math>）和[[雅可比矩阵]]的[[特徵值]]、[[特徵向量]]如下表所示<ref>{{cite journal|last=Horedt|first=Georg P.|title=Topology of the Lane-Emden equation|journal=[[Astronomy and Astrophysics{{!}}A&A]]|date=1987|year=1987|volume=117|issue=1-2|pages=117-130|url=http://adsabs.harvard.edu/abs/1987A%26A...177..117H|accessdate=2012-06-27|archive-date=2017-03-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20170306205142/http://adsabs.harvard.edu/abs/1987A%26A...177..117H}}</ref>：

{| cellspacing="10"
|- align="center"
!  臨界點  !! colspan="2" |  特徵值  !! colspan="2" |  特徵向量  
|- align="center"
|  <math>(0,0)</math>  ||  <math>3</math>  ||  <math>-1</math> ||  <math>(1,0)</math>  ||  <math>(0,1)</math>
|- align="center"
|  <math>(3,0)</math>  ||  <math>-3</math>  ||  <math>2</math>  ||  <math>(1,0)</math>  ||  <math>(-3n,5+5n)</math>
|- align="center"
|  <math>(0,n+1)</math> ||  <math>1</math>  ||  <math>3-n</math>  ||  <math>(0,1)</math>  ||  <math>(2-n,1+n)</math>
|- align="center"
|  <math>\left(\frac{n-3}{n-1},2\frac{n+1}{n-1}\right)</math>  || colspan="2" |  <math>\frac{n-5\pm\Delta_n}{2-2n}</math>  ||  colspan="2" |  <math>\left(1-n\mp\Delta_n,4+4n\right)</math>  
|-
|}

==相關條目==
*[[恆星結構]]
*{{link-en|埃姆登－錢德拉塞卡方程|Emden–Chandrasekhar equation}}
*{{link-en|錢德拉塞卡白矮星方程|Chandrasekhar's white dwarf equation}}

==延伸閱讀==
*{{citation | first=Jonathan Homer | last=Lane | author-link=強納生·荷馬·萊恩 | year=1870 | title=On the Theoretical Temperature of the Sun under the Hypothesis of a Gaseous Mass Maintaining its Volume by its Internal Heat and Depending on the Laws of Gases Known to Terrestrial Experiment | journal=The American Journal of Science and Arts, 2nd series | volume=50 | pages=57–74}}.

== 參考資料 ==
{{reflist}}

==外部連結==
*{{MathWorld | urlname=Lane-EmdenDifferentialEquation | title=Lane-Emden Differential Equation}}
* Horedt, George Paul ( 1986 ) {{PDFlink|[http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1986Ap%26SS.126..357H&amp;data_type&#61;PDF_HIGH&amp;whole_paper&#61;YES&amp;type&#61;PRINTER&amp;filetype&#61;.pdf 'Seven-digit tables of Lane-Emden functions'] | 5.9MB }}, ''Astrophysics and Space Science'' vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357–408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.

[[Category:天体物理学|Lai2]]
[[Category:恆星天文學]]
[[Category:常微分方程]]