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[[Image:Mohr Circle.svg|300px|right|thumb|圖1：三維應力下的莫爾圓]]
'''莫爾圓'''（Mohr's circle）得名自德國土木工程師{{le|克里斯汀·奧圖·莫爾|Christian Otto Mohr}}，是一種用二維方式表示[[柯西应力张量]]轉換關係的圖。

先針對假設為[[連續介質力學|連續]]的物體進行{{le|應力應變分析|Stress–strain analysis|應力分析}}，之後特定一點的柯西应力张量分量會和[[坐標系]]有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。

圓上每一個點的橫坐標<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及縱坐標<math>\tau_\mathrm{n}</math>都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。

{{le|卡爾·卡爾曼|Karl Culmann}}是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受[[彎曲 (力學)|彎曲]]時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則<ref name=Parry>{{cite book| last = Parry| first = Richard Hawley Grey| title = Mohr circles, stress paths and geotechnics| edition = 2| publisher = Taylor & Francis| year = 2004| pages = 1–30| url = https://books.google.ca/books?id=u_rec9uQnLcC&lpg=PP1&dq=mohr%20circles%2C%20sterss%20paths%20and%20geotechnics&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false| isbn = 0-415-27297-1| access-date = 2018-02-05| archive-date = 2020-08-07| archive-url = https://web.archive.org/web/20200807165741/https://books.google.ca/books?id=u_rec9uQnLcC&lpg=PP1&dq=mohr%20circles%2C%20sterss%20paths%20and%20geotechnics&pg=PA1#v=onepage&q=&f=false}}</ref>。

其他表示應力狀態的方式有{{le|拉梅應力橢球|Lame's stress ellipsoid}}及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。

莫爾圓可以擴展到[[對稱矩陣|對稱]]的 2x2 [[張量]]，包括[[应变 (物理学)|應變]]及[[轉動慣量#慣性張量|轉動慣量]]張量。

==應力及莫爾圓==
[[Image:Stress in a continuum.svg|400px|right|thumb|圖2：在有受力可變形物體（假設為連續體）中的應力F]]
考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是[[表面力]]或是{{le|物體力|Body force}}），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循[[歐拉運動定律]]，正如物體受力依循[[牛頓運動定律]]一様。物體內部力的強度可以用[[應力]]來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。

在工程中（例如[[結構工程]]、[[機械工程]]或[[土力工程]]）會透過{{le|應力－應變分析|Stress–strain_analysis|應力分析}}來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據[[奧古斯丁·路易·柯西]]的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階{{le|張量種類|type of a tensor|(2,0)型}}的[[張量]]中的九個應力元素 <math>\sigma_{ij}</math>完全決定，此二階張量稱為[[柯西应力张量]], <math>\boldsymbol\sigma</math>:

:<math>\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\
\sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\
\sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \\
\end{matrix}}\right]

\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\
\sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\
\sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\
\end{matrix}}\right]
\equiv \left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & \tau _{xz} \\
\tau _{yx} & \sigma _y & \tau _{yz} \\
\tau _{zx} & \tau _{zy} & \sigma _z \\
\end{matrix}}\right]
</math>
[[File:Stress transformation 2D.svg|400px|right|thumb|圖3：連續體中的一點在平面應力條件下的應力轉換]]
若確定了一物體在特定坐標系統<math>(x,y)</math>下的應力分佈，有可能需要知道特定一點<math>P</math>相對另一個有旋轉的坐標系統<math>(x',y')</math>下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統<math>(x',y')</math>和原有的坐標系統<math>(x,y)</math>之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照[[張量]]的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律<!--[[Cauchy stress tensor#Transformation rule of the stress tensor|tensor transformation law]]-->。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。

== 二維張量下的莫爾圓==
[[File:Stress at a plane 2D.svg|200px|right|thumb|圖4：連續體中的一點在平面應力條件下的應力分量]]

在二維下，一點<math>P</math>相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統<math>(x,y)</math>下，其應力分量為：法向應力<math>\sigma_x</math>及<math>\sigma_y</math>，以及[[剪應力]]<math>\tau_{xy}</math>。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是<math>\tau_{xy}=\tau_{yx}</math>，因此柯西應力張量可以寫成：

:<math>\boldsymbol{\sigma}=
\left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy} & 0 \\
\tau _{xy} & \sigma _y & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{matrix}}\right]
\equiv

\left[{\begin{matrix}
\sigma _x & \tau _{xy}  \\
\tau _{xy} & \sigma _y  \\

\end{matrix}}\right]
</math>

其目的是在另一個通過<math>P</math>點，但存在角度差的坐標系統<math>(x',y')</math>下，找到應力分量<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_\mathrm{n}</math>（圖4）。坐標系統<math>(x',y')</math>和原坐標系統<math>(x,y)</math>的角度差即為<math>\theta</math>。

===莫爾圓的方程===
要推導二維[[平面應力]]及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置<math>P</math>的二維的無限小方形元素（圖4），和<math>y</math>-<math>z</math>平面平行。

利用無限小元素上的力平衡，正向應力<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及剪應力<math>\tau_\mathrm{n}</math>的大小為：

:<math>\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta</math>

:<math>\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta</math>

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!莫爾圓參數式的推導－利用力平衡
|-
|利用<math>\sigma_\mathrm{n}</math>方向（<math>x'</math>軸）的力平衡（圖4），而且假設<math>\sigma_\mathrm{n}</math> 作用的面積為<math>dA</math>，可得：

:<math>\ \begin{align}
\sum F_{x'} &= \sigma_\mathrm{n} dA - \sigma_x dA \cos ^2 \theta - \sigma_y dA \sin ^2 \theta - \tau_{xy} dA \cos \theta \sin \theta - \tau_{xy} dA \sin \theta \cos \theta = 0 \\
\sigma_\mathrm{n} &= \sigma_x \cos ^2 \theta +  \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta \\
\end{align}</math>
再考慮以下的關係
:<math> \cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad  \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad</math> 及 <math>\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta</math>
可以得到
:<math>\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta</math>

再考慮<math>\tau_\mathrm{n}</math>方向（<math>y'</math>軸）的力平衡（圖4），再假設 <math>\tau_\mathrm{n}</math>作用的面積是<math>dA</math>，可得：
:<math>\ \begin{align}
\sum F_{y'} &= \tau_\mathrm{n} dA + \sigma_x dA \cos \theta \sin \theta - \sigma_y dA \sin \theta \cos \theta - \tau_{xy} dA \cos ^2 \theta + \tau_{xy} dA \sin ^2 \theta = 0 \\
\tau_\mathrm{n} &= -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right) \\
\end{align}</math>
再考慮以下的關係
:<math> \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad</math> 及 <math>\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta</math>
可以得到

:<math>\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta</math>
|}

上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_\mathrm{n}</math>方向用力平衡計算是等效的。

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!莫爾圓參數式的推導－利用張量變換
|-
|應力張量變換定律可以表示為

:<math>\begin{align}
\boldsymbol{\sigma}' &= \mathbf A \boldsymbol{\sigma} \mathbf A^T \\
\left[{\begin{matrix}
\sigma_{x'} & \tau_{x'y'} \\
\tau_{y'x'} & \sigma_{y'}  \\
\end{matrix}}\right]

&=\left[{\begin{matrix}
a_{x} & a_{xy} \\
a_{yx} & a_{y} \\
\end{matrix}}\right]

\left[{\begin{matrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} \\
\tau_{yx} & \sigma_{y} \\
\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}
a_{x} & a_{yx} \\
a_{xy} & a_{y} \\
\end{matrix}}\right] \\

&= \left[{\begin{matrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \\
\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} \\
\tau_{yx} & \sigma_{y}  \\
\end{matrix}}\right]

\left[{\begin{matrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{matrix}}\right]
\end{align}
</math>

將等號右側展開，再配合<math>\sigma_{x'}=\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_{x'y'}=\tau_\mathrm{n}</math>，可得：

:<math>\sigma_\mathrm{n} = \sigma_x \cos ^2 \theta +  \sigma_y \sin ^2 \theta + 2\tau_{xy} \sin \theta \cos \theta</math>
再加上以下的條件
:<math> \cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}, \qquad  \sin ^2 \theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2} \qquad</math> 及<math>\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta</math>
可得
:<math>\sigma_\mathrm{n} = \frac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y ) + \frac{1}{2} ( \sigma_x - \sigma_y )\cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta</math>

<math>\tau_\mathrm{n} = -(\sigma_x-\sigma_y) \sin\theta\cos\theta + \tau_{xy} \left( \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \right)</math>

再加上以下的條件
:<math> \cos ^2 \theta - \sin^2\theta=\cos 2\theta \qquad</math> 及<math>\qquad \sin 2\theta= 2\sin\theta\cos\theta</math>
可得

:<math>\tau_\mathrm{n} = -\frac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y )\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta</math>

此時不需要計算<math>\sigma_{x'}</math>垂直的應力成份<math>\sigma_{y'}</math>，因為在推導莫爾圓時還不需要此成份
|}

這二個方程是莫爾圓的[[參數式]]。在方程中，<math>2\theta</math>為參數，而<math>\sigma_\mathrm{n}</math>和<math>\tau_\mathrm{n}</math>為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使<math>\sigma_\mathrm{n}</math>為橫軸，<math>\tau_\mathrm{n}</math>縱軸，給定參數<math>\theta</math>，會給定在莫爾圓上的一點。

若從參數式中消去參數<math>2\theta</math>，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_\mathrm{n}</math>的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得

:<math>\begin{align}
\left[ \sigma_\mathrm{n} - \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )\right]^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2 \\
(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_\mathrm{avg})^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= R^2 \end{align}</math>

其中
:<math>R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2} \quad \text{and} \quad \sigma_\mathrm{avg} = \tfrac{1}{2} ( \sigma_x + \sigma_y )</math>

這就是[[圓]]（莫爾圓）的方程
:<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>

在<math>(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})</math>坐標系統中，其半徑<math>r=R</math>，圓心在坐標<math>(a,b)=(\sigma_\mathrm{avg}, 0)</math>處。

=== 符號體系 ===
在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（[[結構工程]]及[[機械工程]]）文獻用的體系和[[地質力學]]用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。<!--A more detailed explanation of these sign conventions is presented below.-->

上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。

==== 實體空間符號體系 ====
為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此<math>\tau_{xy}</math>是作用在以<math>x</math>軸正向為其法向量的平面上，而方向是往<math>y</math>軸的正方向。

在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。

在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力<math>\tau_{xy}</math>和<math>\tau_{yx}</math>為正，因為這二個剪應力的作用方向往<math>y</math>軸及<math>x</math>軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力<math>\tau_{xy}</math>和<math>\tau_{yx}</math>，其作用方向往<math>y</math>軸及<math>x</math>軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。

==== 莫爾圓空間符號體系 ====
[[Image:Mohr circle sign convetion.svg|400px|right|thumb|圖5 繪制莫爾圓時，工程力學符號體系下的應力。此條目會依照圖中的符號體系 # 3]]

在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）

不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量<math>\tau_{xy}</math>為正，而<math>\tau_{yx}</math>為負。這和實體空間符號體系中<math>\tau_{xy}</math>和<math>\tau_{yx}</math>符號相同的情形不同。

在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：
# 將正的剪應力畫在上方（圖5，符號體系#1）
# 將正的剪應力畫在下方，也就是<math>\tau_\mathrm n</math>軸倒置（圖5，符號體系#2）

將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的<math>2\theta</math>角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者<ref> {{Cite book | author = Russell C. Hibbeler | title = Mechanics Of Materials 8th Edition | date = 2010 | pages = 461-462 | ISBN = 978-0136022305 | language = en }} </ref>會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的<math>2\theta</math>角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。

為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上<math>2\theta</math>為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力<math>\tau_\mathrm n</math>也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力<math>\tau_\mathrm n</math>也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。

此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。

=== 繪製莫爾圓 ===
[[Image:Mohr Circle plane stress (angle).svg|400px|right|thumb|圖6：在平面應力及平面應變的條件下繪製莫爾圓（二倍角的作法）<br/>在應力分析後，可以找到材料中一點<math>P</math>上的應力分量<math>\sigma_x</math>、<math>\sigma_y</math>及<math>\tau_{xy}</math>。應力分量作用在二個互相垂直的<math>A</math>平面及<math>B</math>平面，兩者都通過<math>P</math>點。莫爾圓上<math>A</math>點和 <math>B</math>點的坐標是在<math>A</math>平面及<math>B</math>平面上的應力分量。因此可以用莫爾圓找到應力分量<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_\mathrm{n}</math>，也就是在同一點上，但作用在其他平面<math>D </math>上的應力分量。<math>\overline {OB}</math>線和<math>\overline {OD}</math>線之間的夾角是通過<math>P</math>點的平面<math>B</math>和平面<math>D</math>的法向量的夾角]]

假設已知待研究物體上的點<math>P</math>的應力分量<math>\sigma_x</math>、<math>\sigma_y</math>及<math>\tau_{xy}</math>，如圖4所示。以下方法可以繪製點<math>P</math>的莫爾圓，以表示其應力狀態。

# 繪制笛卡爾坐標系統<math>(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})</math>，橫軸為<math>\sigma_\mathrm{n}</math>，縱軸為<math>\tau_\mathrm{n}</math>。
# 在<math>(\sigma_\mathrm{n},\tau_\mathrm{n})</math>空間中，畫出二點<math>A(\sigma_y, \tau_{xy})</math>及<math>B(\sigma_x, -\tau_{xy})</math>，分別是作用在二垂直平面<math>A</math>平面和 <math>B</math>平面上的應力分量（圖4及圖6），需依照選擇的符號體系。
# 用線段<math>\overline{AB}</math>連接<math>A</math>點和<math>B</math>點，此即為圓的直徑。
# 繪製莫爾圓，其圓心<math>O</math>是線段<math>\overline{AB}</math>的中點，也就是此線和<math>\sigma_\mathrm{n}</math>軸的交點。
{{clear}}

=== 找主要正向應力 ===
主要應力的大小是點<math>C</math>和點<math>E</math>（圖6中圓和 <math>\sigma_\mathrm n</math>軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力<math>\sigma_1</math>的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而<math>\sigma_2</math>最小正向應力的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為

:<math>\sigma_1 = \sigma_\max = \sigma_\text{avg}+R</math>
:<math>\sigma_2 = \sigma_\min = \sigma_\text{avg}-R</math>

其中平均正向應力<math>\sigma_\text{avg}</math>的大小是圓心<math>O</math>的橫坐標，為
:<math>\sigma_\text{avg} = \tfrac{1}{2}(\sigma_x+ \sigma_y)</math>

其半徑的長度<math>R</math>為
:<math>R = \sqrt{\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_x - \sigma_y)\right]^2 + \tau_{xy}^2}</math>

=== 找最大和最小剪應力 ===
最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心<math>O</math>的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑<math>R</math>
:<math>
\tau_{\max,\min}= \pm R</math>

=== 找任意平面的應力分量 ===
如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點<math>P</math>上的應力分量<math>\sigma_x</math>、<math>\sigma_y</math>及 <math>\tau_{xy}</math>。這些應力分量作用在通過<math>P</math>點的二垂直平面 <math> A</math> 及 <math>B</math>，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上<math>D</math>的應力分量<math>\sigma_\mathrm{n}</math>及<math>\tau_\mathrm{n}</math>，事實是作用在<math>D</math>平面上，此平面也通過<math>P</math>點，和<math>B</math>平面有夾角<math>\theta</math>，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes）
==== 倍角法 ====
如圖6所示，若平面<math>D</math>是平面<math>B</math>再逆時針旋轉角度<math>\theta</math>後的平面，要找到在平面<math>D</math>上的應力分量<math>(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})</math>，可以在莫爾圓上從已知應力點 <math>B(\sigma_x, -\tau_{xy})</math>同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 <math>2\theta</math>，旋轉到點<math>D(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})</math>，也就是讓<math>\overline {OB}</math>線和<math>\overline {OD}</math>線之間的夾角是<math>2\theta</math>。

倍角法的作法源自於通過<math>P</math>點的二實際平面之間的夾角<math>\theta</math>（圖4），是其對應應力點 <math>(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})</math>在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。

倍角關係是因為莫爾圓的參數式是<math>2\theta</math>的函數。也可以從在材料點 <math>P</math>上的平面<math>A</math>和<math>B</math>夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。

==== 極點法（或平面原點法） ====
[[Image:Mohr Circle plane stress (pole).svg|400px|right|thumb|圖7：平面應力及應變的莫爾圓（極點法）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度平面上的應力狀態]]
第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量<math>\sigma</math>及<math>\tau</math>，可以畫一條線通過莫爾圓上的 <math>\sigma_\mathrm{n}</math>和<math>\tau_\mathrm{n}</math>，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是<math>\sigma_x,\!</math>, <math>\sigma_y,\!</math>及<math>\tau_{xy},\!</math>。首先先從<math>B</math>點畫一條線，平行<math>\sigma_x</math>的作用平面，或是從<math>A</math>點畫一條線，平行<math>\sigma_y</math>的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有<math> \theta</math>夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。
=== 找主要平面的方向 ===
最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中
的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此<math>\overline{OB}</math>和<math>\overline{OC}</math>之間的夾角是角∠BOC，是<math>\theta_p</math>（主要平面和平面<math>B</math>夾角）角度的二倍。

而<math>\theta_{p1}</math>和<math>\theta_{p2}</math>也可以用以下的方程取得

:<math>\tan 2 \theta_\mathrm{p} = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}</math>

此方程的解會是二個角度，彼此相差<math>90^\circ</math>。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓<math>\tau_\mathrm n</math>等於零（主要平面上的剪應力為0）。

== 一般三維應力下的莫爾圓 ==
[[Image:Mohr Circle.svg|400px|right|thumb|圖10 三維應力下的莫爾圖]]
若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主[[應力]]的大小<math>\left(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \right)</math>以及方向<math>\left(n_1, n_2, n_3 \right)</math>。

考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用<math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>x_3</math>坐標系統，並且假設<math>\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3</math>，則在一法向量為 <math>\mathbf n</math>的平面，其應力向量<math>\mathbf T^{(\mathbf n)}</math>的應力分量及剪力分量會滿足下式
:<math>\begin{align}
\left( T^{(n)} \right)^2 &= \sigma_{ij}\sigma_{ik}n_jn_k \\
\sigma_\mathrm{n}^2 + \tau_\mathrm{n}^2 &= \sigma_1^2 n_1^2 + \sigma_2^2 n_2^2 + \sigma_3^2 n_3^2 \end{align}</math>
:<math>\sigma_\mathrm{n} = \sigma_1 n_1^2 + \sigma_2 n_2^2 + \sigma_3 n_3^2.</math>

由於<math>n_i n_i = n_1^2+n_2^2+n_3^2 = 1</math>，可以用高斯消去法求解<math>n_1^2</math>, <math>n_2^2</math>, <math>n_3^2</math>：
:<math>\begin{align}
n_1^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2)(\sigma_1 - \sigma_3)} \ge 0\\
n_2^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)}{(\sigma_2 - \sigma_3)(\sigma_2 - \sigma_1)} \ge 0\\
n_3^2 &= \frac{\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1)(\sigma_3 - \sigma_2)} \ge 0.
\end{align}</math>

因為<math>\sigma_1 > \sigma_2 > \sigma_3</math>及<math>(n_i)^2</math>都不是負值，因此其分子滿足
:<math>\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3) \ge 0</math> 因為其分母<math>\sigma_1 - \sigma_2 > 0</math>而且<math>\sigma_1 - \sigma_3 > 0</math>
:<math>\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_3)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1) \le 0</math> 因為其分母<math>\sigma_2 - \sigma_3 > 0</math>而且<math>\sigma_2 - \sigma_1 < 0</math>
:<math>\tau_\mathrm{n}^2+(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_1)(\sigma_\mathrm{n} - \sigma_2) \ge 0</math> 因為其分母<math>\sigma_3 - \sigma_1 < 0</math>而且<math>\sigma_3 - \sigma_2 < 0.</math>

方程式可以寫成
:<math>\begin{align}
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_2 + \sigma_3) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3) \right)^2 \\
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_3) \right]^2 \le \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3) \right)^2 \\
\tau_\mathrm{n}^2 + \left[ \sigma_\mathrm{n}- \tfrac{1}{2} (\sigma_1 + \sigma_2) \right]^2 \ge \left( \tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2) \right)^2 \\
\end{align}</math>

是三個應力莫爾圓<math>C_1</math>, <math>C_2</math>和<math>C_3</math>的方程，其半徑分別是<math>R_1=\tfrac{1}{2}(\sigma_2 - \sigma_3)</math>, <math>R_2=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_3)</math>及<math>R_3=\tfrac{1}{2}(\sigma_1 - \sigma_2)</math>，而其圓心分別在<math>\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_2 + \sigma_3), 0\right]</math>, <math>\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_3), 0\right]</math>, <math>\left[\tfrac{1}{2}(\sigma_1 + \sigma_2), 0\right]</math>。

有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點<math>(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})</math>都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點<math>(\sigma_\mathrm{n}, \tau_\mathrm{n})</math> 可能滿足圓<math>C_1</math>的方程，或是在圓<math>C_1</math>的外面，可能滿足圓<math>C_2</math>的方程，或是在圓<math>C_2</math>的裡面，可能滿足圓<math>C_3</math>的方程，或是在圓<math>C_3</math>的外面。

== 相關條目 ==
* {{le|臨界面分析|Critical plane analysis}}

==腳註==
{{Reflist|1}}

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* [http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming-1/index.php DoITPoMS Teaching and Learning Package- "Stress Analysis and Mohr's Circle"] {{Wayback|url=http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/metal-forming-1/index.php |date=20210424062902 }}

[[Category:经典力学]]
[[Category:材料科學]]
[[Category:固体力学]]