查看“︁莫比烏斯-坎特八邊形”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polygon
| name        = 莫比烏斯－坎特八邊形
| image       = Complex polygon 3-3-3.svg
| caption     = 4個紅色三角形和4個藍色三角形分別代表其8條[[三元邊]]
| coxeter     = {{CDD|3node_1|3|3node}}
| schläfli    = <sub>3</sub>{3}<sub>3</sub>
| type        = [[八邊形]]
| edges       = 8個{{link-en|三元邊|Trion (geometry)|<sub>3</sub>&#123;&#125;}} [[File:Complex trion.png|30px]]
| vertice     = 8 
| symmetry    = {{link-en|二元四面體群|Binary_tetrahedral_group|<sub>3</sub>[3]<sub>3</sub>}}, order 24 （謝潑德群）
| area        = 
| dual        = 自身對偶
| properties  = [[正多邊形|正]]、[[複數 (數學)|複]]
}}
在[[幾何學]]中，'''莫比烏斯－坎特八邊形'''是一個[[複多邊形|複正多邊形]]，其位於<math>\mathbb{C}^2</math>[[複數 (數學)|複]][[希爾伯特空間|希爾伯特平面]]中由八個頂點和八個[[三元邊|三元稜]]組成，是一個自身對偶的多邊形{{#tag:ref|Coxeter, 1991,<ref name="Coxeter, 1991">{{citation| last=Coxeter | first=H.S.M. | title=Regular Complex Polytopes | publisher=Cambridge University Press | year=1991 | isbn=0-521-39490-2 | authorlink=Harold Scott MacDonald Coxeter }}</ref> p.30, 47}}。[[考克斯特]]將其命名為莫比烏斯－坎特八邊形，用於共享{{link-en|複排佈|Complex configuration}}結構，如{{link-en|莫比烏斯－坎特排佈|Möbius–Kantor configuration}}。<ref>Coxeter, H. S. M., Shephard, G.C.; Portraits of a family of complex polytopes, ''Leonardo'' Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244 [https://www.jstor.org/stable/1575843?seq=1#page_scan_tab_contents] {{Wayback|url=https://www.jstor.org/stable/1575843?seq=1#page_scan_tab_contents |date=20200507054709 }}</ref>

這種形狀由{{link-en|杰弗里·科林·謝潑德|Geoffrey Colin Shephard}}於1952年發現，其將此形狀根據其對稱性以3(24)3表示，考克斯特將這種對稱性計為<sub>3</sub>[3]<sub>3</sub>，其與24階的{{link-en|二元四面體群|Binary_tetrahedral_group}}同構。<ref name="Shephard 1952">Shephard, G.C.; Regular complex polytopes, ''Proc. London math. Soc.'' Series 3, Vol 2, (1952), pp 82–97.</ref>

== 性質 ==
莫比烏斯－坎特八邊形是一種由8個[[頂點 (幾何)|頂點]]和8條[[邊 (幾何)|稜]]所組成的幾何結構，其在[[施萊夫利符號]]中可以用<sub>3</sub>{3}<sub>3</sub>來表示、在考克斯特記號中可以用{{CDD|3node_1|3|3node}}來表示。與一般的[[八邊形]]不同，莫比烏斯－坎特八邊形位於[[複數 (數學)|複]][[希爾伯特空間|希爾伯特平面]]，且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點，稱為三元稜或三元邊（Trion）<ref group="註">在數學中，邊或稜通常可以代表頂點皆只位在單一軸上並不涉及其他軸分量組成的幾何結構，例如x軸上的(2,0)連接到(3,0)的棱，但若將每一個維度從實數推廣至複數，則「軸」的概念可以被替換為[[高斯平面]]，這意味著稜不再只是一條線段，而可能是高斯平面上的一個區域。而三元邊或三元棱則為連接三個頂點所構成複數空間的棱。這種結構無法存於實空間，在實空間中，三元棱對應的幾何結構為[[三角形]]。</ref>，這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用<sub>''3''</sub>{}來表示。{{#tag:ref|Complex Regular Polytopes,<ref name="Coxeter, 1991"/> 11.1 ''Regular complex polygons'' p.103}}

=== 頂點座標 ===
莫比烏斯－坎特八邊形可以於<math>\mathbb{C}^3</math>空間中給出，其為：
{| class="wikitable"
| (''&omega;'',−1,0)||(0,''&omega;'',−''&omega;''<sup>2</sup>)||(''&omega;''<sup>2</sup>,−1,0)||(−1,0,1) 
|-
| (−''&omega;'',0,1)||(0,''&omega;''<sup>2</sup>,−''&omega;'')||(−''&omega;''<sup>2</sup>,0,1)||(1,−1,0)
|}
其中<math>\omega = \tfrac{-1+i\sqrt3}{2} </math>。

=== 作為一種排佈 ===
莫比烏斯－坎特八邊形<sub>3</sub>{3}<sub>3</sub>的{{link-en|排佈 (多胞形)|Configuration_(polytope)|排佈矩陣}}為：<ref>Coxeter, Complex Regular polytopes, p.117, 132</ref>
:<math>\left [\begin{matrix}8&3\\3&8\end{matrix}\right ]</math>

== 實空間的代表 ==
在實空間中，莫比烏斯－坎特八邊形可以用[[四維空間]]的[[正十六胞体]]{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}來代表，{{#tag:ref|Shephard, G.C. 1952,<ref name="Shephard 1952"/> p.93|name="Shephard, G.C. 1952 p.93"}}其共用了相同的8個頂點。當莫比烏斯－坎特八邊形的8條三元邊被繪製為三條獨立的邊時，即可在當莫比烏斯－坎特八邊形中觀察到[[正十六胞体]]的24條邊。在下圖中這8個三角形被以每個個分成一組，分別塗上藍色和紅色。下圖中，B<sub>4</sub>投影在兩個顏色組之間以兩個擁有不同對稱性的方向進行投影。此外，所代表的實空間形狀也可以是一個β<sub>4</sub>的四維[[正軸形]]。<ref name="Shephard, G.C. 1952 p.93"/>
{| class=wikitable
|+ 正投影圖
|- style="text-align:center;"
!考克斯特平面
!colspan=2|B<sub>4</sub>
!F<sub>4</sub>
|- style="text-align:center;"
!圖
|[[File:Complex polygon 3-3-3-B4.svg|120px]]
|[[File:Complex polygon 3-3-3-B4b.svg|120px]]
|[[File:Complex polygon 3-3-3.svg|120px]]
|- style="text-align:center;"
!對稱性
|colspan=2|[8]
|[12/3]
|}

== 參見 ==
*[[黑塞二十七面體]]、[[截半黑塞二十七面體]]：由莫比烏斯－坎特八邊形組成的多面體。

== 註釋 ==
{{reflist|group="註"}}

== 參考文獻 ==
{{refbegin|2}}
{{reflist}}
{{refend}}

[[Category:复分析]]
[[Category:多胞形]]