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{{ otheruses | other=对数论函数进行的变换 | 默比乌斯反演公式}}
在[[几何学]]-{zh:里;zh-hans:里;zh-cn:里;zh-hant:裏;zh-hk:裏;zh-tw:裡;zh-mo:裏;}-, '''莫比乌斯变换'''是一类从[[黎曼球面]]映射到自身的函数。用扩展复平面上的复数表示的话，其形式为：

:<math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>
其中 ''z'', ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' 为满足 ''ad'' &minus; ''bc'' &ne; 0的（扩展）[[复数 (数学)|复数]]。

莫比乌斯变换也可以被分解为以下几个变换：把平面射影到球面上，把球体进行旋转、位移等任何变换，然后把它射影回平面上。
莫比乌斯变换是以[[数学家]][[奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯]]的名字命名的，它也被叫做'''单应变换'''（{{lang|en|homographic transformation}}）或'''分式线性变换'''（{{lang|en|linear fractional  transformation}}）。

==简介==
莫比乌斯变换是定义在[[黎曼球面|扩充复平面]]上的（扩充复平面是指在普通的复平面加入无穷远点构成的集合）
:<math>\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C}\cup\{\infty\}.</math>

扩充复平面可以看做是一个球面，它的另一个名称就是黎曼球面。每个莫比乌斯变换都是从黎曼球面到它自身的[[双射|一一对应的]][[共形映射|共形变换]]。事实上，所有这样的变换都是莫比乌斯变换。

所有莫比乌斯变换的集合在[[复合函数|函数复合]]作用下构成一个[[群]]，称为“莫比乌斯群”，记作 <math>\mathcal{M} ( \widehat{\mathbb{C}} )</math>。这个群是黎曼球面（作为一个[[黎曼曲面]]）的[[自同构群]]，因此有时也被记作：
:<math>\mbox{Aut}( \widehat{\mathbb{C}} )\,</math>.

莫比乌斯群[[群同构|同构]]于三维双曲空间中的保向[[等距同构]]群，因此在三维双曲空间中的子流形的研究中占有重要地位。

== 定义 ==
莫比乌斯变换的常见形式为：
:<math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>
其中''a''、''b''、''c''、''d''是任何满足 ''ad'' − ''bc'' ≠ 0 的复数（当''ad'' = ''bc'' 的时候这个表达式退化成一个常数，通常约定常数函数不是莫比乌斯变换）。当''c''≠0 时，定义
:<math>f(-d/c) = \infin </math> ，<math> f(\infin) = a/c;</math>
这样便将莫比乌斯变换扩展到整个黎曼球面上。

如果''c''=0，那么定义
:<math>f(\infin) = \infin.</math><ref>{{en}}[http://people.maths.ox.ac.uk/earl/G2-lecture4.pdf Mobius Transformation and the Extended Complex Plane] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150417023232/http://people.maths.ox.ac.uk/earl/G2-lecture4.pdf |date=2015-04-17 }}，牛津大学数学系讲义</ref>
这样定义后莫比乌斯变换就成为了黎曼球面上的一个一一对应的[[全纯函数]]。

由于对莫比乌斯变换的每一个系数乘上一个相同的系数<math>\lambda</math>后不会改变这个变换：<math>\frac{\lambda a z + \lambda b}{\lambda c z + \lambda d} = \frac{a  z + b}{c z + d}</math>，所以也有的定义中将''ad'' − ''bc'' ≠ 0 的条件改成 ''ad'' − ''bc'' = 1. 这样的定义下得到的莫比乌斯变换可以说是“约简后”的莫比乌斯变换{{r|toth|page1=22}}。

== 分解与基本性质 ==
莫比乌斯变换的实质与[[反演]]密切相关。实际上，一个形如
:<math>f(z) = \frac{a z + b}{c z + d}</math>
的莫比乌斯变换可以分解成四个变换{{r|KK|page1=51}}：
#<math>f_1(z)= z+d/c \!</math> （按''d''/''c'' 做[[平移|平移变换]]）；
#<math>f_2(z)= 1/z \!</math> （关于[[单位圆]]做[[反演|反演变换]]然后关于实数轴做[[镜面反射 (数学)|镜面反射]]）；
#<math>f_3(z)= (- (ad-bc)/c^2) \cdot z \!</math> （做关于[[原点]]的[[缩放|位似变换]]然后做[[旋转]]）；
# <math>f_4(z)= z+a/c \!</math>（按''a''/''c'' 做[[平移|平移变换]]）。
这四个变换的复合就是莫比乌斯变换：
:<math> f_4\circ f_3\circ f_2\circ f_1 (z)= f(z) = \frac{az+b}{cz+d}.\!</math>

在这种分解之下，我们可以清楚地看出莫比乌斯变换的不少基本性质。首先，由于以上分解中的每个变换都是可逆的（它们的逆变换也十分清楚），因此可以容易地看出，莫比乌斯变换的逆变换也是一个莫比乌斯变换，而且其表达式可以具体计算。具体来说，设变换函数<math>g_1, g_2, g_3, g_4</math> ，其中每一个<math>g_i</math>都是相应的<math>f_i</math>的逆变换（反函数），
:<math>g_i  = f_i^{(-1)}</math>
那么莫比乌斯变换''f''的逆变换就是：
:<math>f^{(-1)}(z) = g_1\circ g_2\circ g_3\circ g_4 (z) = \frac{dz-b}{-cz+a}</math>{{r|KK|page1=51}}

=== 保角性与保圆性 ===
由于莫比乌斯变换可以分解为平移、反演、位似与旋转变换，因此能够保持所有[[反演变换]]的性质。一个基本的例子是保角性：由于平移、反演、位似与旋转变换都保持角度不变，因此两个复数（或向量）之间的幅角差（夹角）在经过莫比乌斯变换后不变。

此外，一个[[广义圆]]经过莫比乌斯变换后，仍会映射到一个广义圆。广义圆是指黎曼球面上的圆，包括普通的圆形和带无穷远点的直线（可以认为是一个半径无限大的圆）。这也是反演保持广义圆的结果。当然莫比乌斯变换并不是将圆映射到圆，将直线映射到直线，经过映射后直线可能变成圆，圆也可能变成直线。

=== 复比不变性 ===

莫比乌斯变换也可以保持复数的[[交比|复比]]不变。设有四个两两不同的复数<math>z_1, z_2, z_3, z_4</math>，对应扩充复平面上四个不同的点，它们经过莫比乌斯变换后变成<math>w_1, w_2, w_3, w_4</math>四点，那么复比：
:<math>
\frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} =
\frac{(w_1-w_3)(w_2-w_4)}{(w_2-w_3)(w_1-w_4)}.
</math>

当 <math>z_1, z_2, z_3, z_4</math> 中有一个或多个是无穷大时，复比就定义为相应逼近的极限。比如说当四个复数是 <math>z_1, z_2, z_3, \infin</math> 时，复比就是：
:<math>\frac{(z_1-z_3)}{(z_2-z_3)}.</math>

=== 确定莫比乌斯变换 ===
给定平面上三个不同点 <math>z_1, z_2, z_3</math>，存在着唯一的一个莫比乌斯变换<math>f</math>，使得<math>f(z_1), f(z_2), f(z_3)</math> 分别等于 <math>0, 1, \infty</math>。这个莫比乌斯变换就是：
:<math>f(z) = \frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_3)(z_2-z_1)} </math>
而由于对于另外的三个不同点 <math>w_1, w_2, w_3</math>，也唯一存在一个莫比乌斯变换<math>g</math>，使得<math>g(w_1), g(w_2), g(w_3)</math> 分别等于 <math>0, 1, \infty</math>。因此，对于任意一组出发点 <math>z_1, z_2, z_3</math>，任意一组到达点 <math>w_1, w_2, w_3</math>，都唯一存在一个莫比乌斯变换，将<math>z_1, z_2, z_3</math> 分别映射到点 <math>w_1, w_2, w_3</math>。具体地说，这个变换就是<math>g^{(-1)} \circ f</math>{{r|KK|page1=59-60}}。作为推论，如果一个莫比乌斯变换有三个不动点，那么它是恒等变换。

== 矩阵表示 ==
莫比乌斯变换构成的莫比乌斯群<math>\mathcal{M} (\widehat{\mathbb{C}})</math>和由二阶复[[可逆矩阵]]所构成的二阶复系数[[一般线性群]]<math>\mathcal{GL}_2(\mathbb{C}) </math>有同态的关系。事实上，考虑一个二阶的可逆矩阵：<math>A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{pmatrix}</math>，其中<math>a_1 a_4-a_2 a_3 \neq 0</math>，那么由矩阵的系数 <math>a_1, a_2, a_3, a_4</math> 可以写出一个莫比乌斯变换：
:<math>g_A : \; z \; \mapsto \frac{a_1 z + a_2}{a_3 z + a_4}</math>
而如果考虑映射：
:<math>\mathcal{GL}_2(\mathbb{C}) \longrightarrow \mathcal{M} (\widehat{\mathbb{C}})</math>
:<math> \varphi : \, A  \quad  \mapsto \quad g_A</math>
则经过计算可以知道，<math>g_{AB}=g_A\circ g_B</math>，也就是说：
:<math> \varphi (A B)  = \varphi (A) \circ \varphi (B)</math>
因此<math> \varphi </math>是一个群同态{{r|KK|page1=53}}。

注意到对所有的复数<math>\lambda</math>，<math>\frac{\lambda a_1 z + \lambda a_2}{\lambda a_3 z + \lambda a_4} = \frac{a_1 z + a_2}{a_3 z + a_4}</math>，所以变换<math>g_{(\lambda A)}=g_A</math>。因此，可以将起始空间由一般线性群缩小到[[特殊线性群]]<math>\mathcal{SL}_2(\mathbb{C}) </math>。而由于有且仅有[[单位矩阵]]<math>\mathbf{Id}_2</math>和负单位矩阵<math>-\mathbf{Id}_2</math>在群同态<math> \varphi </math>下对应的莫比乌斯变换是[[恒等变换]]，所以<math> \varphi </math>的[[核 (代数)|核]]是<math>\left\{\mathbf{Id}_2, -\mathbf{Id}_2 \right\}</math>。根据群同态基本定理，有以下群同构关系{{r|toth|page1=23}}：
:<math> \mathcal M(\hat{\mathbb{C}})\cong \mathcal{SL}_2(\mathbb{C}) \bigg/ \left\{\mathbf{Id}_2, -\mathbf{Id}_2 \right\} = \mathbb{P}\mathcal{SL}_2(\mathbb{C})</math>
其中<math>\mathbb{P}\mathcal{SL}_2(\mathbb{C})</math>为复平面上的[[射影线性群|射影特殊线性群]]。

==参见==
*[[双曲几何]]
*[[勞侖茲群]]
*[[共形几何]]
*[[庞加莱半平面模型]]
*[[射影几何]]

==参考来源==
{{reflist|refs=
<ref name="toth">{{en}}{{cite book | title = Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli | author = Gábor Tóth | publisher =Springer; 1 edition | year = 2001 | isbn = 978-0387953236 }}</ref>
<ref name="KK">{{en}}{{citation | first=Konrad|last=Knopp | title=Elements of the Theory of Functions | publisher=New York: Dover | year=1952 | isbn=978-0-486-60154-0}} </ref>
}}

[[Category:复分析|M]]
[[Category:共形幾何]]
[[Category:射影几何]]
[[Category:李群]]