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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
在[[微分拓扑]]中，'''莫尔斯理论'''使人们能通过[[流形]]上的[[可微函数]]分析流形的[[拓扑空间|拓扑]]。根据[[马斯顿·莫尔斯]]的基本见解，流形上的可微函数在'''''典型'''''的情况下，直接反映了该流形的拓扑。莫尔斯理论允许人们在流形上找到[[CW复形|CW结构]]和[[柄分解]]，并得到关于它们的[[同调]]的信息。

在莫尔斯之前，[[阿瑟·凯莱]]和[[麦克斯韦]]在[[测绘学]]中发展了莫尔斯理论中的一些思想。莫尔斯最初将他的理论用于[[测地线]]（路径的能量[[泛函]]的[[临界点 (数学)|临界点]]）。这些技术被[[拉乌尔·博特]]用于他的著名的[[博特周期性定理]]的证明中。
莫尔斯理论在复流形中的类似理论是[[皮卡第–莱夫谢茨理论]]。
==基本概念==
[[Image:Saddle point.png|thumb|right|鞍点]]
考虑山地地表表面''M''（或[[流形]]）。若[[函数]]''f''<math>M \to \mathbb{R}</math>给出当点海拔，则<math>\mathbb{R}</math>中一点的[[像_(數學)#原像|原像]]就是一条[[等高线]]（或[[水平集]]）。等高线的[[连通空间#连通单元|连通组分]]或者是点，或者是简单闭合曲线，或者是有[[奇点_(几何)#二重點|二重点]]的闭合曲线。等高线也可能有更高阶的点（三重点等等），但不稳定，可能因地形的轻微变化而消失。等高线中的二重点出现在[[鞍点]]或通路。

[[Image:Saddle contours.svg|thumb|left|鞍点附近的等高线]]
想象用水淹没等高线下的地形。水位达到''a''时，水下的表面是<math>M^a \,\stackrel{\text{def}}{=}\, f^{-1}(-\infty, a]</math>，海拔不高于''a''的点。想象一下随着水位上升，这个面的拓扑结构将如何变化。除了当''a''经过[[临界点 (数学)|临界点]]的海拔时，''f''的[[梯度]]都为0（更一般地，作为[[切空间]]之间[[线性映射]]的[[雅可比矩阵]]不具有最大[[秩 (线性代数)|秩]]）。也就是说，除非(1)水流注入盆地，(2)覆盖鞍点（[[山道]]），或(3)淹没山顶，否则<math>M^a</math>的拓扑不变。

[[Image:3D-Leveltorus.png|thumb|right|环面]]
盆地、山路、山顶（即最小点、鞍点、最大点）这三类[[临界点 (数学)|临界点]]，一般与指标（index）有关，即''f''从该点递减的[[线性无关|独立]]方向数。或者说，''f''的非退化临界点''p''的指标是''M''在''p''处[[切空间]]的最大子空间的[[向量空间的维数|维度]]，其中''f''的[[黑塞矩阵]]是负定的。盆地、山路、山顶的指标分别是<math>0, 1,2</math>。

考虑更一般的面，令''M''是方向如图所示的[[环面]]，''f''还是点到平面的距离。可以再次分析水下面<math>M^a</math>的拓扑结构如何随水位''a''上升而变化。

[[Image:3D-Cylinder and disk with handle.png|thumb|left|<math>f(q)<a<f(r)</math>时，由<math>M^a</math>形成的圆柱体（右上）与附着于圆盘的1-胞腔（左下）同伦等价。]]
[[Image:3D-Cylinder with handle and torus with hole.png|thumb|right|<math>f(r)<a<f(s)</math>时，由<math>M^a</math>形成的去圆盘环面（右上）与附着于圆柱的1-胞腔（左下）同伦等价。]]
从环面底部开始，令<math>p, q, r, s</math>分别是指标为<math>0, 1, 1, 2</math>的临界点，对应最小值、两个鞍点、最大值。<math>a<f(p) = 0</math>时，<math>M^a</math>是空集；''a''经过''p''的海拔之后有<math>0 < a < f(q)</math>，则<math>M^a</math>是[[圆盘]]，它[[同倫#空間的同倫等價|同伦等价]]于“附着”到空集的一个点（0-胞腔）。接着，''a''越过''q''的海拔时有<math>f(q) < a < f(r)</math>，则<math>M^a</math>是圆柱，同伦等价于附着了1-胞腔的圆盘（左图）。''a''越过''r''的海拔时有<math>f(r) < a < f(s)</math>，则<math>M^a</math>是去圆盘的环面，同伦等价于附着了1-胞腔的[[圆柱]]（右图）。最后，''a''高于''s''的海拔后，<math>M^a</math>便是环面了，即去掉一个圆盘（2-胞腔）并重新附着的环面。

这说明了以下规则：除非''a''越过临界点，否则<math>M^{a}</math>的拓扑不变；遇到临界点时，一个<math>\gamma</math>-胞腔会被附着到<math>M^{a}</math>，其中<math>\gamma</math>是点的指标。这没有说明两个临界点位于同一高度时会发生什么，可以通过扰动''f''来解决。若是[[嵌入 (数学)|嵌入]][[欧氏空间]]的景观或流形，这种扰动可能只是稍微倾斜、旋转坐标系。

必须注意不能使临界点退化。设想退化会造成什么问题：令<math>M = \R</math>、<math>f(x) = x^3</math>。则0是''f''的一个临界点，但''a''经过0时<math>M^{a}</math>的拓扑并不改变。这是因为''f''在0的二阶导<math>f''(0) = 0</math>，也就是''f''的[[黑塞矩阵]]为0，临界点退化。这种情形是不稳定的，因为将''f''扰动为<math>f(x) = x^3 +\epsilon x</math>，则退化的临界点或者被移除（<math>\epsilon>0</math>）或者分解为两个非退化临界点（<math>\epsilon<0</math>）。

==形式发展==
对于[[微分流形]]''M''上的实值[[光滑函数]]<math>f : M \to \R</math>，''f''的[[微分]]为0的点称作''f''的[[临界点 (数学)|临界点]]，在''f''下的像称作临界值。若临界点''p''处，二阶偏导数矩阵（[[黑塞矩阵]]）非奇异，则''p''称作'''非退化临界点'''；若黑塞矩阵是奇异的，则''p''称作'''退化临界点'''。

函数<math>f:\ \R\to\R</math>：
<math display="block">f(x)=a + b x+ c x^2+d x^3+\cdots</math>
<math>b = 0</math>时，原点是''f''的一个临界点。若<math>c \neq 0</math>，则此临界点是非退化的（即''f''具有形式<math>a + c x ^2 + \cdots</math>）；若<math>c = 0</math>，则此临界点是退化的（即''f''具有形式<math>a + dx^3 + \cdots</math>）。退化临界点的一个不太平凡的例子是[[猴鞍面]]的原点。

''f''的非退化临界点''p''的'''[[临界点_(数学)#可微分函數的臨界點|指标]]'''（index）是''M''在''p''处的[[切空间]]中黑塞矩阵为负定阵的最大子空间的维数。这与指标是''f''递减的方向个数的概念直观对应。临界点的退化性和指标同所用的局部坐标系无关，如[[西尔维斯特惯性定理]]所示。

===莫尔斯引理===
令''p''为<math>f : M \to R</math>的非退化临界点。则，在''p''的[[邻域]]''U''中存在[[图册#卡|卡]]<math>\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)</math>，使得<math>\forall i,\ x_i(p) = 0</math>且在整个''U''中
<math display="block">f(x) = f(p) - x_1^2 - \cdots - x_{\gamma}^2 + x_{\gamma +1}^2 + \cdots + x_n^2</math>
其中<math>\gamma</math>等于''f''在''p''处的指标。作为莫尔斯引理的推论，可以看到非退化临界点是[[孤点]]（关于复数域的扩张，可见[[最速下降法#复莫尔斯引理|复莫尔斯引理]]。关于推广，见[[莫尔斯–帕莱引理]]）。
=== 基本定理 ===
流形''M''上的光滑实值函数若无退化临界点，则称作'''莫尔斯函数'''。莫尔斯理论的基本结果表明，几乎所有函数都是莫尔斯函数。技术上，莫尔斯函数形成了<math>C^2</math>拓扑中所有光滑函数<math>M \to \R</math>的一个开稠密子集，这有时表述为“典型的函数是莫尔斯的”或“[[通有性质|通有]]的函数是莫尔斯的”。

如上述，我们感兴趣的是<math>M^a = f^{-1}(-\infty, a]</math>的拓扑何时会随着''a''的变化而变化。下面的定理给出了这个问题的一半答案。

:'''定理.''' 设''f''是''M''上的光滑实值函数，<math>a < b</math>，且<math>f^{-1}[a, b]</math>是[[紧空间|紧]]的，且''a''、''b''间无临界值。则<math>M^a</math>[[微分同胚]]于<math>M^b</math>，<math>M^b</math>[[收缩 (拓扑)|形变收缩]]到<math>M^a</math>上。

我们还有兴趣知道，''a''经过临界点时<math>M^a</math>的拓扑会怎样变化。下面的定理回答了这个问题。

:'''定理.'''  设''f''是''M''上的光滑实值函数，''p''是指标为<math>\gamma</math>的''f''的非退化临界点，<math>f(p) = q</math>。设<math>f^{-1}[q - \varepsilon, q + \varepsilon]</math>是紧的，且除了''q''以外不包含临界点。则<math>M^{q + \varepsilon}</math>[[同倫#空間的同倫等價|同伦等价]]于<math>M^{q - \varepsilon}</math>，并附加了一个<math>\gamma</math>-胞腔。

这些结果是对上一节所述“规则”的推广与形式化。

用前面两个结果以及微分流形上存在莫尔斯函数的事实，可以证明微分流形是CW复形，指标为''n''的临界点都附加了''n''-胞腔。可在临界水平面上安排一个临界点来证明，通常通过[[类梯度向量场]]重排临界点来实现。

===莫尔斯不等式===
莫尔斯理论可用于证明流形同调的一些有力结果。函数<math>f : M \to \R</math>的指标为<math>\gamma</math>的临界点数量等于“爬升”''f''得到的''M''上CW结构中<math>\gamma</math>-胞腔的数量。利用拓扑空间同调群的秩的交替和等于链群（计算同调用）的秩的交替和，用胞腔链群（见[[胞腔同调]]），很明显[[欧拉示性数]]<math>\chi(M)</math>等于
<math display="block">\sum(-1)^\gamma C^\gamma\, = \chi(M)</math>
其中<math>C^{\gamma}</math>是指标为<math>\gamma</math>的临界点数量。同样根据胞腔同调，CW复形''M''的第''n''同调群的秩不大于''M''中''n''-胞腔的数量。于是，第<math>\gamma</math>同调群的秩、即[[贝蒂数]]<math>b_\gamma(M)</math>不大于''M''上莫尔斯函数的指标为<math>\gamma</math>的临界点数量。强化这些事实可得到'''莫尔斯不等式'''：
<math display="block">C^\gamma -C^{\gamma -1} \pm \cdots + (-1)^\gamma C^0 \geq b_\gamma(M)-b_{\gamma-1}(M) \pm \cdots + (-1)^\gamma b_0(M).</math>

特别地
<math display="block">\forall \gamma \in \{0, \ldots, n = \dim M\},</math>
都有
<math display="block">C^\gamma \geq b_\gamma(M).</math>

这给出了研究流形拓扑的有力工具。假设在闭流形上存在莫尔斯函数<math>f : M \to \R</math>，恰有''k''个临界点，则''f''的存在以何种方式限制了''M''？Georges Reeb (1952)研究了<math>k = 2</math>情形，[[里布球面定理]]指出，''M''同胚于球面<math>S^n</math>。<math>k = 3</math>情形只可能出现于少数低维情形，''M''同胚于[[伊尔斯–柯伊伯流形]]。
[[爱德华·威滕]] (1982)考虑扰动算子<math>d_t = e^{-tf} d e^{tf}</math>的[[德拉姆上同调|德拉姆复形]]，提出了莫尔斯不等式的解析方法。<ref>{{cite journal|last=Witten |first=Edward |title=Supersymmetry and Morse theory |journal=[[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] |volume=17 |year=1982 |issue=4 |pages=661–692 |doi=10.4310/jdg/1214437492 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite book|last=Roe|first= John|title= Elliptic Operators, Topology and Asymptotic Method |edition=2nd |series=Pitman Research Notes in Mathematics Series |volume= 395 |publisher= Longman |year= 1998 |isbn= 0582325021}}</ref>

===用于闭2-流形的分类===
莫尔斯理论可用于对闭2-流形在微分同胚意义上进行分类。若''M''有向，则''M''依其亏格''g''分类，且与具有''g''柄的球面微分同胚：若<math>g = 0</math>，则''M''微分同胚于2-球面；若<math>g > 0</math>，则''M''微分同胚于''g'' 2-环面的[[连通和]]。若''N''无向，则''M''依正数''g''分类，微分同胚于''g''个[[实射影空间]]<math>\mathbf{RP}^2</math>的连通和。特别地，当且仅当两闭2-流形微分同胚时，它们同胚。<ref>{{cite book |last=Gauld |first=David B. |title=Differential Topology: an Introduction |series=Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics|volume= 72 |publisher= Marcel Dekker |year= 1982|isbn= 0824717090 |url-access= registration |url= https://archive.org/details/differentialtopo0000gaul }}</ref><ref>{{cite book|last=Shastri|first=Anant R.|url=https://books.google.com/books?id=-BrOBQAAQBAJ|title=Elements of Differential Topology|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439831601}}</ref>

===莫尔斯同调===
[[莫尔斯同调]]是理解[[光滑流形]]的[[同调]]一种很简单的方法。莫尔斯同调使用莫尔斯函数和[[黎曼度量]]的一般选择来定义，基本定理是：所得的同调是流形的不变量（即与函数和度量无关），同构于流形的奇异同调；这意味着莫尔斯和奇异[[贝蒂数]]一致，并给出了莫尔斯不等式的直接证明。莫尔斯同调在[[辛几何]]中的类似物是[[弗洛尔同调]]。

==莫尔斯–博特理论==
莫尔斯函数的概念可以推广到以非退化流形作为临界点的函数。'''莫尔斯–博特函数'''是流形上的光滑函数，其临界集是闭子流形，它的黑塞矩阵在法向上非退化（等价地，临界点处的黑塞矩阵核等于对临界子流形的切空间）。莫尔斯函数是临界流形为0维时的特例（于是临界点处的黑塞矩阵在每个方向上非退化，即无核）。

指标可被自然地认为是一对
<math display="block">\left(i_-, i_+\right),</math>
其中<math>i_-</math>是不稳定流形在临界流形给定点上的维度，<math>i_+=i_-+</math>临界流形维度。若莫尔斯–博特函数在临界轨迹（locus）上被小函数扰动，则在未扰动函数的临界流形上，扰动函数所有临界点的指标将介于<math>i_-</math>、<math>i_+</math>之间。

莫尔斯–博特函数非常有用，因为一般的摩尔斯函数不易处理。能直观看到、可轻松计算的函数通常具有对称性。[[拉乌尔·博特]]在最初证明[[博特周期性定理]]时使用了莫尔斯–博特理论。

[[圆形函数]]是莫尔斯–博特函数的例子，其中临界集是圆（的不交并）。

[[莫尔斯同调]]也可用于莫尔斯–博特函数；莫尔斯–博特同调中的微分是由[[谱序列]]算得。Frederic Bourgeois在研究莫尔斯–博特版本的辛场论时勾勒出一种方法，但由于分析上的巨大困难，这项工作从未发表。

==另见==
{{Div col|colwidth=20em}}
* [[阿尔姆格伦–匹茨最小-最大理论]]
* [[数字莫尔斯理论]]
* [[离散莫尔斯理论]]
* [[雅可比集]]
* [[拉格朗日格拉斯曼流形]]

* [[LS范畴]]

* [[莫尔斯–斯麦尔系统]]
* [[山路定理]]
* [[萨德引理]]
* [[分层莫尔斯理论]]
{{Div col end}}

==参考文献==
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==阅读更多==
* {{cite journal|last=Bott|first=Raoul|author-link=Raoul Bott|year=1988|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0|title=Morse Theory Indomitable|journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|volume=68|pages=99–114|doi=10.1007/bf02698544|s2cid=54005577|access-date=2006-06-05|archive-date=2020-11-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20201109040547/http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1988__68__99_0|dead-url=no}}
* {{cite journal|last=Bott|first=Raoul|author-link=Raoul Bott|year=1982|title=Lectures on Morse theory, old and new|journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]]|series=(N.S.)|volume=7|issue=2|pages=331–358|doi=10.1090/s0273-0979-1982-15038-8|doi-access=free}}
* {{cite journal|last=Cayley|first=Arthur|year=1859|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf|title=On Contour and Slope Lines|journal=[[Philosophical Magazine|The Philosophical Magazine]]|volume=18|issue=120|pages=264–268|access-date=2024-05-25|archive-date=2017-12-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20171215042918/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/cayleyconslo.pdf|dead-url=no}}
* {{cite arXiv|last=Guest|first=Martin|year=2001|eprint=math/0104155|title=Morse Theory in the 1990s}} 
* {{cite book|last=Hirsch|first=M.|title=Differential Topology|year=1994|edition=2nd|publisher=Springer}}
* {{cite book
| last=Kosinski
| first=Antoni A.
| author-link=Antoni Albert Kosinski
| title=Differential Manifolds
| url=https://archive.org/details/differentialmani0000kosi_k1k6
| edition=Reprint of 1993
| publisher=Dover Publications
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| zbl=<!--Zentralblatt MATH-->
}}
* {{cite book
       | last=Lang
       | first=Serge
       | author-link=Serge Lang
       | title=Fundamentals of Differential Geometry
       | publisher=[[Springer Publishing|Springer-Verlag]]
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* {{cite book|last=Matsumoto|first=Yukio|year=2002|title=An Introduction to Morse Theory}}
* {{cite journal|last=Maxwell|first=James Clerk|year=1870|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hilldale.pdf|title=On Hills and Dales|journal=The Philosophical Magazine|volume=40|issue=269|pages=421–427|access-date=2024-05-25|archive-date=2024-09-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20240913233242/https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hilldale.pdf|dead-url=no}}
* {{cite book|last=Milnor|first=John|author-link=John Milnor|title=Morse Theory|publisher=Princeton University Press|year=1963|isbn=0-691-08008-9}} A classic advanced reference in mathematics and mathematical physics.
* {{cite book|last=Milnor|first=John|year=1965|title=Lectures on the h-cobordism theorem|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hcobord.pdf|access-date=2024-05-25|archive-date=2024-11-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20241113052008/https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/hcobord.pdf|dead-url=no}}
* {{cite book|last=Morse|first=Marston|year=1934|title=The Calculus of Variations in the Large|series=American Mathematical Society Colloquium Publication|volume=18|location=New York}}
* {{cite book|last=Schwarz|first=Matthias|title=Morse Homology|url=https://archive.org/details/morsehomology0000schw|url-access=registration|publisher=Birkhäuser|year=1993|isbn=9780817629045}}

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