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[[数学]]中，'''莫尔斯–帕莱引理'''（Morse–Palais lemma）是[[变分法]]与[[希尔伯特空间]]理论中的一个结果。粗略地讲，它指出[[临界点 (数学)|临界点]]附近足够[[光滑函数|光滑]]的[[函数]]在适当改变坐标后可表为[[二次型]]。
莫尔斯–帕莱引理最初是美国数学家[[马斯顿·莫尔斯]]利用[[格拉姆-施密特正交化]]在有限维情形证明的。这一结论在[[莫尔斯理论]]中起着至关重要的作用。到希尔伯特空间的推广归功于[[理查德·帕莱]]和[[斯蒂芬·斯梅尔]]。
== 陈述 ==
令<math>(H, \langle \cdot ,\cdot \rangle)</math>为实希尔伯特空间，并令''U''是''H''中原点的开邻域。令<math>f : U \to \R</math>是<math>(k+2)</math>-次连续[[可微函数]]，其中<math>k \geq 1</math>，即<math>f \in C^{k+2}(U; \R)</math>。设<math>f(0) = 0</math>，0是''f''的非退化[[临界点 (数学)|临界点]]，即二阶导<math>D^2 f(0)</math>确定了''H''与其[[连续对偶空间]]<math>H^*</math>的[[同构]]
<math display=block>H \ni x \mapsto \mathrm{D}^2 f(0) (x, -) \in H^*.</math>

则在''U''中存在0的子邻域''V''、[[微分同胚]]映射<math>\varphi : V \to V</math>（<math>C^k</math>，逆也是<math>C^k</math>）、[[反函数|可逆]]对称算子<math>A : H \to H</math>使得
<math display=block>f(x) = \langle A \varphi(x), \varphi(x) \rangle \quad \forall x \in V.</math>

== 推论 ==
令<math>f : U \to \R</math>是<math>f \in C^{k+2}</math>，使得0是非退化临界点。则存在逆为<math>C^k</math>的<math>C^k</math>微分同胚映射<math>\psi : V \to V</math>、正交分解
<math display=block>H = G \oplus G^{\perp},</math>
使得若有
<math display=block>\psi (x) = y + z \quad \mbox{ with } y \in G, z \in G^{\perp},</math>
则
<math display=block>f (\psi(x)) = \langle y, y \rangle - \langle z, z \rangle \quad \text{ for all } x \in V.</math>

== 另见 ==
* [[弗雷歇导数]]

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Lang|first=Serge|authorlink= Serge Lang|title=Differential manifolds|publisher=Addison–Wesley Publishing Co., Inc.|location=Reading, Mass.&ndash;London&ndash;Don Mills, Ont.|year=1972}}

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[[Category:变分法]]