查看“︁莫兰指数”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|zh-cn:信息; zh-tw:資訊;
|zh-hans:自相关; zh-hant:自相關;<!-- 取消到台灣用語「自我相關」的轉換，該用法在地理學中不常見 -->
}}
[[File:Checkerboard_pattern.svg|右|缩略图|图中白色和黑色方块完全分散，此时依据四邻规则计算的莫兰指数为-1。如果白色方块集中在棋盘的一半，黑色方块集中在另一半，随着方块数增加，莫兰指数会逼近+1。方块颜色随机排列时，莫兰指数会接近0。]]
[[统计学]]中，'''莫兰指数'''（{{Lang|en|Moran's ''I''}}）是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一种[[空间自相关]]度量。<ref>{{Cite journal |last=Moran |first=P. A. P. |author-link=Pat Moran (statistician) |year=1950 |title=Notes on Continuous Stochastic Phenomena |journal=Biometrika |volume=37 |issue=1 |page=17–23 |doi=10.2307/2332142 |jstor=2332142 |pmid=15420245}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Li |first=Hongfei |last2=Calder |first2=Catherine A. |author-link2=Kate Calder |last3=Cressie |first3=Noel |author-link3=Noel Cressie |year=2007 |title=Beyond Moran's ''I'': Testing for Spatial Dependence Based on the Spatial Autoregressive Model |url=https://archive.org/details/sim_geographical-analysis_2007-10_39_4/page/357 |journal=Geographical Analysis |volume=39 |issue=4 |page=357–375 |doi=10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x}}</ref>空间自相关即空间中邻近的位置之间存在相关性。空间自相关比一维[[自相关函数|自相关]]更复杂，因为空间相关性是多维的（即空间的二维或三维）和多方向的。

== 全局莫兰指数 ==
全局莫兰指数（{{Mvar|I}}）是对空间数据的整体聚集的度量，其定义如下：

: <math> I = \frac {N \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_{ij}(x_i-\bar x) (x_j-\bar x)} {W \sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2} </math>

其中：
* <math>N</math>是空间单元的个数；
* <math>i</math>和<math>j</math>是两个空间单元的索引编号；
* <math>x</math>是相关变量；<math>\bar x</math>是<math>x</math>的平均值；
* <math>w_{ij}</math>是空间单元<math>i</math>和<math>j</math>之间关系的空间权重，主对角线上取值为0（即<math>w_{ii} = 0</math>）；
* <math>W</math>是所有<math>w_{ij}</math>的总和。

=== 定义空间权重矩阵 ===
{{Mvar|I}}的值可能很大程度上依赖空间权重矩阵{{Math|<nowiki>{</nowiki>''w<sub>ij</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}中的假设。之所以需要该矩阵，是因为在处理空间自相关和建立空间相互作用模型时，需要约束予以考虑的邻居的数量。这与托布勒的[[地理学第一定律]]有关，该定律指出，所有事物都是相关的，但更接近的事物更相关——换句话说，该定律表明空间中存在[[距离衰减]]，尽管所有观测值都对其他观测值有影响，但在某个距离阈值后，其影响已经微弱得可以忽略不计。

其思路是构建一个矩阵，以准确地反映对讨论的特定空间现象的假设。一种常见的做法是，如果两个空间单元是邻居，则权重为1，否则为0（但“邻居”的定义可能会有所不同）。另一种常见的方法可能是给{{Mvar|k}}个最近的邻居赋予1的权重，其他为0。还有一种方法是使用[[距离衰减]]函数来分配权重。有时，共边的长度用于为邻居分配不同的权重。空间权重矩阵的选择应以研究的相关现象的理论为指导。{{Mvar|I}}的值对权重非常敏感，并且会影响对现象的结论，尤其是在使用距离时。

=== 期望值 ===
在不存在空间自相关的[[虛無假說]]下，莫兰指数的期望值为：

: <math> E(I) = \frac{-1} {N-1} </math>

对应该期望值的零分布是<math>x</math>输入遵循随机均匀地选取的排列<math>\pi</math>。

在大样本量下（即{{Mvar|N}}趋于无穷大时），期望值接近于零。

其方差等于

: <math> \operatorname{Var}(I) = \frac{NS_4-S_3S_5} {(N-1)(N-2)(N-3)W^2} - (E(I))^2 </math>

其中

: <math> S_1 = \frac 1 2 \sum_i \sum_j (w_{ij}+w_{ji})^2 </math>

: <math> S_2 = \sum_i \left( \sum_j w_{ij} + \sum_j w_{ji}\right)^2 </math>

: <math> S_3 = \frac {N^{-1} \sum_i (x_i - \bar x)^4} {(N^{-1} \sum_i (x_i - \bar x)^2)^2} </math>

: <math> S_4 = (N^2-3N+3)S_1 - NS_2 + 3W^2 </math>

: <math> S_5 = (N^2-N) S_1 - 2NS_2 + 6W^2 </math><ref>Cliff and Ord (1981), Spatial Processes, London</ref>

{{Mvar|I}}的值通常在&#x2212;1到+1之间。显着低于{{Math|-1/(''N''-1)}}的值表示空间负相关（分散），显着高于{{Math|-1/(''N''-1)}}的值表示空间正相关（集聚）。对于统计[[假說檢定]]，莫兰指数的值可以转换为[[標準分數|Z-分数]]。

莫兰指数与{{Link-en|吉尔里C数|Geary's C}}成负相关，但并不完全等同。莫兰指数是全局空间自相关的度量，而吉尔里C数对局部空间自相关更敏感。

== 局部莫兰指数 ==
全局空间自相关分析只能得到一个概括整个研究区域的一个统计量。换句话说，全局分析假设空间是相对均质的。若该假设不成立，那么只有一个统计数据是意义不大，因为统计数据在空间上应该是不同的。

而且，即使不存在全局自相关或聚类，我们仍然可能通过局部空间自相关分析，在局部层面上找到聚类。“空间关联的局部指标”（local indicators of spatial association，LISA）利用莫兰指数是[[叉积]]总和这一事实，通过计算每个空间单元的局部莫兰指数并评估每个{{Mvar|I<sub>i</sub>}}的统计显著性来评估这些个体单元的聚类。局部莫兰指数最早由{{tsl|en|Luc Anselin|卢卡·安瑟林}}于1995年提出。<ref>{{Cite journal |last=Anselin |first=Luc |year=1995 |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x |title=Local Indicators of Spatial Association—LISA |journal=Geographical Analysis |volume=27 |issue=2 |pp=93-115 |doi=10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x |access-date=2022-06-28 |archive-date=2022-07-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220712071734/https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x }}</ref>由全局莫兰指数的等式可导出：

:<math> I_i = \frac{x_i-\bar x}{m_2} \sum_{j=1}^N w_{ij} (x_j-\bar x) </math>

其中：
:<math> m_2= \frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar x)^2 }{N}</math>

因此，
:<math> I= \sum_{i=1}^N \frac{I_i}{N} </math>

{{Mvar|I}}为衡量全局空间自相关性的全局莫兰指数，{{Mvar|I<sub>i</sub>}}为局部莫兰指数，{{Mvar|N}}为地图中分析单元的总数。

空间关联的局部指标可以用[[GeoDa]]软件来计算，其中就包含了局部莫兰指数的计算功能。<ref>{{Cite web |last=Anselin |first=Luc |year=2005 |url=https://www.geos.ed.ac.uk/~gisteac/fspat/geodaworkbook.pdf |title=Exploring Spatial Data with GeoDa<sup>TM</sup>: A Workbook |publisher=Spatial Analysis Laboratory |page=138 |access-date=2022-06-28 |archive-date=2021-06-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210614024357/https://www.geos.ed.ac.uk/~gisteac/fspat/geodaworkbook.pdf }}</ref>

== 应用 ==
莫兰指数广泛应用于[[地理学]]和[[地理信息科学]]领域。例子有：

* 健康变量的地理差异分析<ref>{{Cite journal |last=Getis |first=Arthur |date=3 Sep 2010 |title=The Analysis of Spatial Association by Use of Distance Statistics |journal=Geographical Analysis |volume=24 |issue=3 |page=189–206 |doi=10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x |doi-access=free}}</ref>；
* 表征公共水中[[锂]]浓度对心理健康的影响<ref>{{Cite journal |last=Helbich |first=M |last2=Leitner |first2=M |last3=Kapusta |first3=ND |date=2012 |title=Geospatial examination of lithium in drinking water and suicide mortality |journal=Int J Health Geogr |volume=11 |issue=1 |page=19 |doi=10.1186/1476-072X-11-19 |pmc=3441892 |pmid=22695110}}</ref>；
* [[方言学]]中，用来衡量区域语言变异的显著性<ref>{{Cite journal |last=Grieve |first=Jack |date=2011 |title=A regional analysis of contraction rate in written Standard American English |url=https://lirias.kuleuven.be/bitstream/123456789/328993/1/GrieveIJCLAug312011.doc |journal=International Journal of Corpus Linguistics |volume=16 |issue=4 |page=514–546 |doi=10.1075/ijcl.16.4.04gri}}</ref>；
* [[地貌学]]研究中，用来定义有意义的地形分割的目标函数<ref>{{Cite journal |last=Alvioli |first=M. |last2=Marchesini |first2=I. |last3=Reichenbach |first3=P. |last4=Rossi |first4=M. |last5=Ardizzone |first5=F. |last6=Fiorucci |first6=F. |last7=Guzzetti |first7=F. |date=2016 |title=Automatic delineation of geomorphological slope units with r.slopeunits v1.0 and their optimization for landslide susceptibility modeling |journal=Geoscientific Model Development |volume=9 |page=3975–3991 |doi=10.5194/gmd-9-3975-2016 |doi-access=free}}</ref>。

== 参见 ==
* [[地理学第一定律]]
* [[距离衰减]]
* {{Link-en|吉尔里C数|Geary's C}}
* {{Link-en|空间异质性|Spatial heterogeneity}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:协方差与相关性]]
[[Category:空间数据分析]]