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[[数学]]中，'''范畴化'''是将[[集合论]]的[[定理]]替换为[[范畴论]]类似物的过程。成功的范畴化会将[[集合 (数学)|集合]]替换为[[范畴 (数学)|范畴]]，将[[函数]]替换为[[函子]]，将[[方程]]替换为[[自然变换]]或函子。

范畴化的逆叫做“去范畴化”，是将范畴内同构的物件在[[态射]]意义下视同[[相等]]的系统化过程。去范畴化往往比范畴化更简单。[[李代数]]的[[表示论]]和特定代数上的[[模]]都是这种研究的合适物件。有几种对这样的模进行范畴化的框架，如所谓（弱）阿贝尔范畴。<ref>{{citation|first1=Mikhail|last1=Khovanov|author1-link=Mikhail Khovanov|first2=Volodymyr|last2=Mazorchuk|first3=Catharina|last3=Stroppel|author3-link= Catharina Stroppel |arxiv=math.RT/0702746 |title=A brief review of abelian categorifications|journal=Theory Appl. Categ.|volume=22|number=19|year=2009|pages=479–508}}</ref>

范畴化和去范畴化不是精确的数学过程，而是一类可能的相似物。这种过程与“[[广义化]]”之类的术语相近，而不像“构造从层化”（Sheafification）之类。<ref>{{cite web | url = https://mathoverflow.net/a/4880/38821 | title = What precisely Is "Categorification"? | author = Alex Hoffnung | date = 2009-11-10 | access-date = 2023-09-01 | archive-date = 2021-05-04 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210504162125/https://mathoverflow.net/questions/4841/what-precisely-is-categorification/4880 | dead-url = no }}</ref>

== 例子 ==
范畴化的一种形式采用了以集合论描述的结构，将集合解释为范畴内物件的“同构类”。例如[[自然数]]集可视作有限集的势的集合（任意两个有相同势的集合都视作同构）。这时，对自然数集的操作，如加法、乘法等运算可以视作对[[有限集范畴]]的[[副积]]和[[积 (范畴论)|积]]。这里的思想不太抽象地说，是操作由具体物件组成的集合，并取副积（并集）或积（构建元素的数组）；之后，集合的内在结构便通过“同构取等”被抽象出来，产生算术的抽象理论。这是“去范畴化”的过程，范畴化会把它逆过来。

另一个例子包括[[拓扑学]]中的[[同调]]。[[埃米·诺特]]给出了同调的现代阐释：即通过范畴化[[贝蒂数]]的标记，得到的特定[[自由阿贝尔群]]的[[秩 (群)|秩]]。{{sfn|Baez|Dolan|1998}}另见Khovanov同调在[[纽结理论]]中作为[[纽结不变量]]。

[[有限群]]理论中的一个例子是，[[对称函数环]]的范畴化可以通过[[对称群 (n次对称群)|对称群]]的表示的范畴实现。去范畴化映射将Specht模对<math>\lambda</math>的偏变为Schur函数的同一个偏，即

:<math>S^\lambda \stackrel{\varphi}{\to} s_\lambda</math>

基本遵循了从关联的[[格罗滕迪克群]]的最适基到[[对称函数]]环的表示论最适基的[[特征 (数学)|特征]]映射。这样的映射反映了结构如何保持相似，例如

:<math>\left[\operatorname{Ind}_{S_m \otimes S_n}^{S_{n+m}}(S^{\mu} \otimes S^{\nu})\right] \qquad \text{ and } \qquad s_\mu s_\nu </math>

在各自的基上有相同的分解数，都可以由Littlewood–Richardson系数确定。

==阿贝尔范畴化==
对范畴<math>\mathcal{B}</math>，令<math>K(\mathcal{B})</math>为<math>\mathcal{B}</math>的[[格罗滕迪克群]]。

令<math>A</math>为是[[自由阿贝尔群]]的[[环 (数学)|环]]，并使<math>\mathbf{a} = \{a_i\}_{i \in I}</math>为<math>A</math>的基，这样<math>\mathbf{a}</math>中的乘法就是正定的，即

:<math>a_i a_j = \sum_{k} c_{ij}^k a_k,</math>，其中<math> c_{ij}^k \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>

令<math>B</math>为<math>A</math>-[[模]]，则<math>(A, \mathbf{a}, B)</math>的（弱）阿贝尔范畴会包括一个[[阿贝尔范畴]]<math>\mathcal{B}</math>、一个同构关系<math> \phi: K(\mathcal{B}) \to B</math>、精确自函子<math>F_i: \mathcal{B} \to \mathcal{B}</math>，则

# 函子<math>F_i</math>将<math>a_i</math>的活动施于模<math>B</math>，即<math>\phi [F_i] = a_i \phi</math>；
# 有同构关系<math>F_i F_j \cong \bigoplus_{k} F_k^{c_{ij}^k},</math>，即复合<math>F_i F_j</math>可以分解为函子<math>F_k</math>的直和。相对地，<math>a_i a_j</math>也可以分解为基元素<math>a_k</math>的线性组合。

==另见==
* [[组合证明]]，将[[数论]]的定理以集合论的类似物表示的过程。
* [[高阶范畴]]
* [[高维代数]]
* [[2-环]]

==参考文献==
{{Reflist}}
{{Refbegin|}}
*{{citation|first1=John|last1=Baez|author1-link=John Baez|first2=James|last2=Dolan|contribution=Categorification|arxiv=math.QA/9802029 |title=Higher Category Theory|editor1-first=Ezra|editor1-last=Getzler|editor2-first=Mikhail|editor2-last=Kapranov|series=Contemp. Math.|volume=230|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, Rhode Island|year=1998|pages=1–36}}
*{{citation|first1=Louis|last1=Crane|first2=David N.|last2=Yetter|title=Examples of categorification|journal=[[Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques]]|volume=39|year=1998|issue=1|pages=3–25|url=http://www.numdam.org/item/CTGDC_1998__39_1_3_0|accessdate=2023-09-01|archive-date=2023-09-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20230901033952/http://www.numdam.org/item/CTGDC_1998__39_1_3_0/|dead-url=no}}
*{{citation|first1=Volodymyr|last1=Mazorchuk|title=Lectures on Algebraic Categorification|series=QGM Master Class Series|year=2010|publisher=European Mathematical Society|arxiv=1011.0144|bibcode=2010arXiv1011.0144M}}
*{{citation|first1=Alistair|last1=Savage|title=Introduction to Categorification|year=2014|arxiv=1401.6037|bibcode=2014arXiv1401.6037S}}
*{{citation|first1=Mikhail|last1=Khovanov|author1-link=Mikhail Khovanov|first2=Volodymyr|last2=Mazorchuk|first3=Catharina|last3=Stroppel|author3-link= Catharina Stroppel |arxiv=math.RT/0702746 |title=A brief review of abelian categorifications|journal=Theory Appl. Categ.|volume=22|number=19|year=2009|pages=479–508}}
{{Refend}}

==阅读更多== 
* A blog post by one of the above authors (Baez): https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html {{Wayback|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/10/what_is_categorification.html |date=20230901033955 }}.

{{范畴论}}

[[Category:范畴论]]
[[Category:代数拓扑]]