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在[[線性代數]]中，'''范德蒙矩陣'''的命名來自[[亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙]]的名字，范德蒙矩陣是一個各列呈現出[[幾何級數]]關係的[[矩陣]]，例如：

:<math>V=\begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\
1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\
1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1}\\
\end{bmatrix}</math>
或以第{{mvar|i}}行第{{mvar|j}}列的關係寫作：
:<math>V_{i,j} = \alpha_i^{j-1}</math>
（部分作者將上述矩陣寫成[[轉置]]後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。）

''n''階范德蒙矩陣為[[方塊矩陣]]，其[[行列式]]可以表示為：

:<math>\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i)</math>

<math>\det(V)</math>不為零當且僅當<math>\alpha_i</math>各不相同。

上述行列式又稱作[[判別式]]。

以[[行列式#向量组的行列式|行列式的萊布尼茨公式]]表示

:<math> \det(V) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1}, </math>

可以把公式改寫為

:<math>\prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \, \alpha_1^{\sigma(1)-1} \cdots \alpha_n^{\sigma(n)-1}, </math>

''S''<sub>''n''</sub> 指的是 {1, 2, ..., ''n''} 的[[排列]]集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 ''m''≤''n''，則矩陣 ''V'' 有最大的[[矩陣的秩|秩]] rank (''m'')。

== 參閱 ==
* [[拉格朗日多項式]]
* [[朗斯基行列式]]

[[Category:矩陣|F]]
[[Category:行列式|F]]
[[Category:數值線性代數|F]]