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{{original research|time=2013-12-11T16:25:56+00:00}}
{{Refimprove |time=2011-10-08T14:06:40+00:00 }}
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'''芝諾悖論'''（{{lang-en|Zeno's paradoxes}}）又称芝诺佯谬<ref>{{Cite book | author = [[方励之]],[[李淑娴]]| title = 力学概论 | location = 安徽| publisher = 安徽科学技术出版社 | date = 1986| pages = 9 }}</ref>，是[[古希腊]]哲學家[[埃利亚的芝诺]]提出的一系列关于运动的不可分性的[[哲学]][[悖论]]。这些悖论由于被记录在[[亚里士多德]]的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师[[巴门尼德]]关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证，其中最著名的两个是：“[[阿基里斯]]追乌龟”和“[[飞矢不动]]”。

== 两分法悖论 ==
{{main|两分法悖论}}
{{cquote|运动是不可能的。由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。|[[埃利亚的芝诺|芝诺]]}}

这裡的“[[運動 (物理學)|运动]]”不是距离的概念，而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离，并且涉及到时间。

== 阿基里斯悖论 ==
{{cquote|动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。|[[亞里士多德]]|[[物理學 (亞里士多德)|''物理學'']] VI:9, 239b15}}
常見的敘述為芝诺提出的追著[[烏龜]]的[[阿基里斯]]，本悖論因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑，兩者起點不同，乌龟的起點位於阿基里斯身前1000米处，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然領先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然領先他1米。芝诺认为，阿基里斯永遠無法追上烏龜<ref>{{cite news |title=阿基里斯追乌龟 |url=http://www.xinhuanet.com/science/2018-08/06/c_137384730.htm }}{{Dead link}}</ref>。

如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。{{Citation needed|首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑“数学派”所代表的[[毕达哥拉斯]]的“1>0.999...，1-0.999...>0”思想。|time=2024-07-28T09:34:54+00:00}}然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的“[[0.999…|1=0.999...]]，但1-0.999...>0”思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0，或1-0.999...>0”思想。

=== 悖論的解決 ===

如果將阿基里斯跑步的速度為每秒10m，烏龜爬行的速度為每秒0.1m，
並且在比賽之前，阿基里斯讓烏龜先爬999m，在這種條件下，阿基里斯追趕烏龜所用的時間為：
  999 ÷ 10 = 99.9秒
  (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
  (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
  · · · · · ·

這些數字，按其先後排列，可以構成一個無限序列：

  99.9, 0.999, 0.00999, · · ·  
  求其和：S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

因此阿基里斯只要跑101秒，即可超越烏龜。<br />
換個角度說，阿基里斯之所以追不上烏龜，原因在於小前提「由於'''追趕者首先應該達到被追者出發之點'''，此時被追者已經往前走了一段距離。」已經限制了阿基里斯追趕的時間(距離)。<br />
因此會得到無限的時間序列。

=== 求極限值 ===
追乌龟亦涉及到[[极限 (数学)|极限]]是否存在的問題。譬如说，阿基里斯的速度改為10m/s，乌龟的速度是1m/s，乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後，總共所花的時間應表示為<math>t=0.9+0.09+0.009+...=0.999...</math>。

其一，關於极限這个[[无限]]过程的意義，涉及到{{link-en|实无限|Actual infinity}}與潜无限（potential infinity）的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成，故上述級數雖然能无限逼近1，但不能說是等於1──故沒有一個時間點（若有，必須是1）能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下，可以假设空间無法无限分割，如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是，无限过程可以完成，即逼近的過程與其极限等價，故阿基里斯可以追上烏龜。現在的[[实数]]，极限，[[微积分]]都建立在实无限上。对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近。

其二，關於要如何找到該無限過程的極限，[[歐拉]]曾提出「<math>0.9999999999 \dots = 1</math>」之證明如下：
{{main|0.999…}}
: 令<math>S = 0.99999999999 \dots</math>
: 則<math>10S = 9.9999999999 \dots</math>
: 兩式相減可得：<br />
: <math>\begin{align}10S - S &= 9.9999999999 \dots - 0.99999999999 \dots \\
9S &= 9 \\ 
S &= 1\end{align}</math>
: 故<math>0.99999999999 \dots = 1</math>

== 飞矢不动悖论 ==
{{cquote|一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。|[[埃利亚的芝诺|芝诺]]}}

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能，所以箭必須是運動狀態。

這個悖論的問題在于，「飛行」的運動，是依賴于兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內，這支箭是否移動。

== 游行队伍悖论 ==
首先假設在操場上，在一瞬間（一个最小时间单位）裡，相对于观众席Ａ，列队Ｂ、Ｃ将分别各向右和左移动一个距离单位。
: 　ＡＡＡＡ　观众席Ａ
: 　ＢＢＢＢ　队列Ｂ・・・向右移动（→）
: 　ＣＣＣＣ　队列Ｃ・・・向左移动（←）
Ｂ、Ｃ两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席Ａ，Ｂ和Ｃ分别向右和左各移动了一个距离单位。
: 　ＡＡＡＡ
: 　　ＢＢＢＢ
: ＣＣＣＣ
而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）裡移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位裡移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

（四个悖论的叙述引自[[莫里斯·克萊因]]《古今数学思想》(Mathematical Thought from Ancient to Modern Times)中译本，Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。）

== 芝諾現象 ==

{{fact|在一個跟時間有關的系統中，如果牽涉到有限時間內，無限多次的操作，我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法，是直接假設停止的時間點，只考慮反彈，不去考慮無窮多次，以計算無窮多次反彈之後的結果。}}

== 相關條目 ==
* [[湯姆生的燈悖論]]
* [[量子芝諾效應]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}{{悖論}}
[[Category:数学悖论|Zhi]]