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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
[[File:Eisenstein integer lattice.png|thumb|191px|艾森斯坦整数是复平面上三角形点阵的交点。]] 
{{Numbers}}
'''艾森斯坦整数'''是具有以下形式的[[複數 (數學)|复数]]：

:<math>z = a + b\omega \,\!</math>
其中''a''和''b''是[[整数]]，且

:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{\frac{2\pi i}{3}}</math>

是三次[[单位根]]。艾森斯坦整数在[[复平面]]上形成了一个三角形点阵。[[高斯整数]]则形成了一个正方形点阵。

艾森斯坦整数环是仅有的九个由<math>\mathbb Q(\sqrt D)~(D<0)</math>中的代数整数构成的主理想环之一。另外的八个分别是<math>D=-1,-2,-7,-11,-19,-43,-67,-163</math>。

==性质==

艾森斯坦整数在[[代数数域]]<math>\mathbb{Q}(\omega)</math>中形成了一个[[代数数]]的[[交换环]]。每一个''z'' = ''a'' + ''b''&omega;都是[[多项式|首一多项式]]
:<math>z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!</math>
的根。特别地，&omega;满足以下方程：
:{{計算結果|ω^2+ω+1}}
因此，艾森斯坦整数是[[代数数]]。

艾森斯坦整数的[[范数]]是它的[[绝对值]]的平方，由以下的公式给出：
:<math>|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!</math>
因此它总是[[整数]]。由于：
:<math>4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2,  \,\!</math> 
因此非零艾森斯坦整数的范数总是正数。

艾森斯坦整数环中的[[可逆元群]]，是复平面中六次[[单位根]]所组成的[[循环群]]。它们是：
:{&plusmn;1, &plusmn;&omega;, &plusmn;&omega;<sup>2</sup>}
它们是范数为一的艾森斯坦整数。

==艾森斯坦素数==

设''x''和''y''是艾森斯坦整数，如果存在某个艾森斯坦整数''z''，使得''y'' = ''z'' ''x''，则我们说''x''能整除''y''。

它是整数的整除概念的延伸。因此我们也可以延伸[[素数]]的概念：一个非可逆元的艾森斯坦整数''x''是艾森斯坦素数，如果它唯一的因子是''ux''的形式，其中''u''是六次单位根的任何一个。

我们可以证明，任何一个被3除余1的素数都具有形式''x''<sup>2</sup>&minus;''xy''+''y''<sup>2</sup>，因此可以分解为(''x''+&omega;''y'')(''x''+&omega;<sup>2</sup>''y'')。因为这样，它在艾森斯坦整数中不是素数。被3除余2的素数则不能分解为这种形式，因此它们也是艾森斯坦素数。

任何一个艾森斯坦整数''a'' + ''b''&omega;，只要范数''a''<sup>2</sup>&minus;''ab''+''b''<sup>2</sup>为素数，那么就是一个艾森斯坦素数。实际上，任何一个艾森斯坦整数要么就是这种形式，要么就是一个可逆元和一个被3除余2的素数的乘积。

==欧几里德域==

艾森斯坦整数环形成了一个[[欧几里德域]]，其范数''N''由以下的公式给出：
:<math>N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!</math>

这是因为：
:<math>\begin{align}N(a+b\,\omega)
&=|a+b\,\omega|^2\\
&=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\
&=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\
&=a^2 - ab + b^2\end{align}</math>

==参见==
* [[高斯整数]]

==参考文献==
*Bachmann, P. Allgemeine Arithmetik der Zahlkörper. p. 142. 
*Cox, D. A. §4A in Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication. New York: Wiley, 1989. 
*Guy, R. K. "Gaussian Primes. Eisenstein-Jacobi Primes." §A16 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 33-36, 1994. 
*Wagon, S. "Eisenstein Primes." §9.8 in Mathematica in Action. New York: W. H. Freeman, pp. 319-323, 1991. 

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/EisensteinInteger.html |date=20201215163827 }}

{{代數數}}
[[Category:代数数]]

[[Category:复数]]
[[Category:分圆域]]