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'''艾森斯坦判別法'''(Eisenstein's criterion)是[[代數|代數學]]中的一個定理，其名稱由來為[[德國]][[數學家]][[費迪南·艾森斯坦]]，此定理給出了判定整係數[[多項式]]不能分解為整係數多項式乘積的[[充分條件]]。由[[高斯引理 (多項式)|高斯引理]]，這判別法也是多項式在[[有理數|有理數域]]不可約的充分條件。

艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式

: <math>f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0</math>

如果存在[[質數]]''p''，使得
*''p''不整除''a''<sub>''n''</sub> ，但整除其他所有''a''<sub>''i''</sub> ；
*''p''<sup>2</sup>不整除''a''<sub>0</sub> ；
那麼''f''(''x'')是[[不可約多項式]]。

==例子==

給定多項式''g''(''x'') = 3''x''<sup>4</sup> + 15''x''<sup>2</sup> + 10，試確定它能否分解為有理係數多項式之積。

試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合，考慮素數''p'' = 5。5整除''x''的係數15和常數項10，但不整除首項3。而且5<sup>2</sup> = 25不整除10。所以''g''(''x'')在有理數域不可約。

有時候不能直接用判別法，或者可以代入''y'' = ''x'' + ''a''後再使用。

例如考慮''h''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> + ''x'' + 2。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除''x''的係數1。但把''h''(''x'')代入為''h''(''x'' + 3) = ''x''<sup>2</sup> + 7''x'' + 14，可立刻看出素數7整除''x''的係數和常數項，但7<sup>2</sup> = 49不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下：

對素數''p''，''p''階[[分圓多項式]]

: <math>\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1</math>
在有理數域不可約。

要使用艾森斯坦判別法，先作代換''x'' = ''y'' + 1。新的常數項是''p''，除首項是1外，其他項的係數是[[二項式係數]]<math>{p \choose k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}</math>，''k''大於0，所以可以被''p''除盡。

==初等證明==

對多項式''f''(''x'')取模''p''，也就是把它的係數映射到[[有限體]]<math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>上。這樣它便化為<math>c\,x^n</math>，其中''c''為非零常數。因為在體上的[[多項式環|多項式]]有[[唯一分解]]，''f''模''p''時會分解為單項式。

如果''f''是在有理數上可約的，那麼會有多項式''g'', ''h''使得''f'' = ''g'' ''h''。從上可知''g''和''h''取模''p''分別為<math>d\,x^k</math>和<math>e\,x^{n-k}</math>，滿足''c'' = ''d'' ''e''。因為''g''和''h''模''p''的常數項為零，這表示''g''和''h''的常數項均可被''p''整除，所以''f''的常數項''a''<sub>0</sub>可以被''p''<sup>2</sup>整除，與''f''係數的假設矛盾。因此得證。

==更进一步的解释==

依据[[牛顿图]]的理论在其[[p进制数]]域，我们考虑一系列点的下凸集。

:(0,1), (1, ''v''<sub>1</sub>), (2, ''v''<sub>2</sub>), ..., (''n'' − 1, ''v''<sub>''n''-1</sub>), (''n'',0), 

其中''v''<sub>''i''</sub>是''a''<sub>''i''</sub>关于''p''的最高次幂。对于一个艾森斯坦多项式，对0 < ''i'' < ''n'',''v''<sub>''i''</sub>至少为''1''，''v''<sub>''0''</sub> ''=1'' ''v''<sub>''n''</sub>
''=0''，固而它的牛顿图即点列的下凸集应当是一条从(0,1) to (''n'',0)的线段，其斜率为−1/''n''。

[[Category:代数|A]]
[[Category:多项式|A]]