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'''艾多尼數'''（Idoneal number），又稱'''合適數'''（suitable numbers）或'''方便數'''（convenient numbers），指的是一個有如次性質的正整數<math>D</math>：若對於<math>D</math>而言，任何能唯一地表示成<math>x^2\pm Dy^2</math>（其中<math>x^2</math>和<math>Dy^2</math>互質）這種形式的正整數，都必然是質數的次方或質數的次方的兩倍，則稱<math>D</math>為艾多尼數。特別地，在<math>D</math>是艾多尼數的狀況下，任何能非唯一地表示成<math>x^2\pm Dy^2</math>這種形式的正整數，都必然是合成數。所有的艾多尼數都可生成包含無限多個質數、但同時也遺漏無限多個質數的集合。

==詞源==
英語中的「[[:wikt:en:idoneal|idoneal]]」一詞，來自拉丁語的「idoneus」<ref>{{cite web |title=Oxford English Dictionary |url=https://www.oed.com/dictionary/idoneal_adj?tl=true |website=Oxford English Dictionary |accessdate=2025-01-20 |language=en}}</ref>；而拉丁語的「[[:wikt:en:idoneus|idoneus]]」的意思是「合適的、合宜的、方便的」或「足夠的」。

==定義==
一個正整數<math>D</math>是艾多尼數，當且僅當不存在三個彼此相異的正整數<math>a,b,c</math>，使得<math>D=ab+bc+ac</math>。<ref>Eric Rains, {{OEIS2C|A000926}} Comments on A000926, December 2007.</ref>

考慮{{math|{ <VAR>n</VAR> + <VAR>k</VAR><sup>2</sup> {{!}}  3 . <VAR>k</VAR><sup>2</sup> ≤ <VAR>n</VAR> &and; [[最大公因數|gcd]] (<VAR>n</VAR>, <VAR>k</VAR>) {{=}} 1 }{{ns:0}}}}這樣的集合是充分的，如果所有集合中的元素都是形如{{math|<VAR>p</VAR>}}、{{math|<VAR>p</VAR><sup>2</sup>}}、{{math|2 · <VAR>p</VAR>}}或<math>2^s</math>這樣的數（其中{{math|<VAR>p</VAR>}}是質數而{{math|<VAR>s</VAR>}}是任意正整數），那麼{{math|<VAR>n</VAR>}}是艾多尼數。<ref>Roberts, Joe: The Lure of the Integers. The Mathematical Association of America, 1992</ref>

==猜想的完整列表==
{{unsolved|數學|艾多尼數的數量是65個、66個或67個？}}
以下是[[萊昂哈德·歐拉]]和[[卡爾·弗里德里希·高斯]]發現的65個艾多尼數，而有猜想認為，這65個數就是所有的艾多尼數：
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848 {{OEIS|id=A000926}}

艾多尼數和複[[二次域]]的性質相關；而從[[彼得·溫伯格]]在1973年的一篇關於複[[二次域]]的證明中，<ref>[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa22/aa2221.pdf Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124]</ref>可導出說除了上述的艾多尼數外，至多只有兩個額外的艾多尼數；而在[[廣義黎曼猜想]]成立的狀況下，上述的艾多尼數就是所有的艾多尼數。此外一些文獻聲稱，溫伯格的結果可導出至多只有一個額外的艾多尼數，但這是錯誤的。<ref>{{Cite journal| last=Kani | first=Ernst | year=2011 |title=Idoneal numbers and some generalizations | journal=Annales des Sciences Mathématiques du Québec | url=http://www.labmath.uqam.ca/~annales/volumes/35-2/PDF/197-227.pdf |volume=35 |number=2 |at=Corollary 23, Remark 24}}</ref>

==參見==
*[[未解決的數學問題]]

==資料出處==
<references />

==參考資料==
* Z. I. Borevich and I. R. Shafarevich, ''Number Theory''. Academic Press, NY, 1966, pp.&nbsp;425–430.
* {{cite book | author = D. A. Cox | title = Primes of the Form x<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;ny<sup>2</sup>| url = https://archive.org/details/primesofformxnyf0000coxd | publisher = Wiley-Interscience | year = 1989 | isbn=0-471-50654-0 | page = [https://archive.org/details/primesofformxnyf0000coxd/page/n78 61] }}
* L. Euler, "[https://arxiv.org/abs/math/0507352 An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers]", 1806
* G. Frei, Euler's convenient numbers, Math. Intell. Vol. 7 No. 3 (1985), 55–58 and 64.
* O-H. Keller, Ueber die "Numeri idonei" von Euler, Beitraege Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rev. 85m:11019]
* G. B. Mathews, ''Theory of Numbers'', Chelsea, no date, p.&nbsp;263.
* [[P. Ribenboim]], "Galimatias Arithmeticae", in Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA or, 'My Numbers, My Friends', Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY
* J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
* [[André Weil|A. Weil]], ''[[Number theory: an approach through history; from Hammurapi to Legendre]]'', Birkhaeuser, Boston, 1984; see p.&nbsp;188.
* P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
* Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

==外部連結==
* K. S. Brown, Mathpages, [http://www.mathpages.com/home/kmath058.htm Numeri Idonei]
* M. Waldschmidt, [https://arxiv.org/abs/math.NT/0312440 Open Diophantine problems]
* {{MathWorld|urlname=IdonealNumber|title=Idoneal Number}}

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[[Category:數論未解決問題]]
[[Category:萊昂哈德·歐拉]]