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'''艾克納方程'''是[[質量守恆]]的定理，是有關[[河流]]中[[沉積物]]的質量守恆<ref>{{cite journal|url=http://doi.wiley.com/10.1029/2004JF000274|pages=n/a–n/a|title=A generalized Exner equation for sediment mass balance|journal=Journal of Geophysical Research: Earth Surface|volume=110|issue=F4|date=2005-12-01|issn=2156-2202|language=en|accessdate=2018-04-02|doi=10.1029/2004jf000274|author=C. Paola, V. R. Voller}}</ref>。最早是由奧地利氣象學家及沈積物學家[[费利克斯·马力亚·埃克斯纳]]開始研究<ref name="Chaudhry2007">{{cite book|author=M Hanif Chaudhry|title=Open-Channel Flow|url=http://books.google.com/books?id=-vqD7cYhX1oC&pg=PA463|date=16 November 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-68648-6|pages=463–}}</ref>，艾克納方程因此而得名<ref>Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 1, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh1IntroMorphodynamics.ppt {{Wayback|url=http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh1IntroMorphodynamics.ppt |date=20111008231241 }}.</ref>。

艾克納方程的重要性在於水深與斜度會影響其剪應力，從而引起地區[[侵蝕]]及堆積作用。

== 方程式 ==
艾克納方程描述河流在[[河流作用]]下，{{le|沉积物搬运|Sediment transport}}過程的質量守恆定理．河底的高度會隨累積的沈積物而漸漸增加（河流{{le|淤積|Aggradation}}），會因沈積物隨著河流清出而漸漸下降（[[陵夷作用]]）。

=== 基礎方程式 ===
此方程提到河床高度<math>\eta</math>隨著時間<math>t</math>的變化，等於沉积物[[通量]]散度的負值，除以颗粒填集密度（grain packing density）<math>\varepsilon_o</math>的結果

: <math>\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{1}{\varepsilon_o}\nabla\cdot\mathbf{q_s}</math>

其中 <math>\varepsilon_o</math> 可以表示為 <math>(1-\lambda_p)</math>，其中 <math>\lambda_p</math> 為河床的[[孔隙率]]。

自然界 <math>\varepsilon_o</math> 的範圍約在0.45 至0.75之間<ref>Parker, G. (2006), 1D Sediment Transport Morphodynamics with applications to Rivers and Turbidity Currents, Chapter 4, http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh4ConservationBedSed.ppt {{Wayback|url=http://vtchl.uiuc.edu/people/parkerg/_private/e-bookPowerPoint/RTe-bookCh4ConservationBedSed.ppt |date=20111008231253 }}.</ref>，若是球形顆粒依{{le|随机密堆积|Random close pack}}的方式堆積，其數值約為 0.64，密堆积的上限為0.74048（參照[[最密堆积]]），但在自然界不太可能以最密堆積的方式堆積，因此多半是用隨機密堆積的方式進行，這也是較合理的上限。

一維的艾克納方程常會因為計算的方便或/及缺乏相關資料而出現。一般以是往下游的方向<math>x</math>為準，因為一般關注的也是隨著河流往下，河流的[[侵蚀作用]]及[[堆積作用]]

: <math>\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{1}{\varepsilon_o}\frac{\partial\mathbf{q_s}}{\partial x}</math>

=== 包括高度因外力變化的方程式 ===
此情形下的艾克納方程會在質量守恆式子中包括[[地層下陷]]的項<math>\sigma</math><ref>{{cite web | url=http://sabotin.ung.si/~sarler/VOLLER/jgr_exner.pdf | title=A generalized Exner equation for sediment mass balance | accessdate=2015-07-12 | author=C. Paola and V. R. Voller | archive-url=https://web.archive.org/web/20150713032531/http://sabotin.ung.si/~sarler/VOLLER/jgr_exner.pdf | archive-date=2015-07-13 | dead-url=yes }}</ref>，這允許在河床高度因外在因素影響時，計算河床的絕對高度<math>\eta</math>對時間的變化，外在因素可能是[[地质构造]]或是[[地殼均衡]]造成的高度變化，若河床高度隨時間增加，<math>\sigma</math> 為正值，若河床高度隨時間減少增加，<math>\sigma</math>為負值。

: <math>\frac{\partial \eta}{\partial t} = -\frac{1}{\varepsilon_o}\nabla\cdot\mathbf{q_s}+\sigma</math>

== 參考資料 ==
{{Reflist|1}}

{{河流形态学}}

[[Category:地貌学]]
[[Category:偏微分方程]]
[[Category:沉积学]]