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在數學的[[代數拓撲學]]中，'''艾倫伯格－斯廷羅德公理'''（{{lang-en|'''Eilenberg–Steenrod axioms'''}}）是[[拓撲空間]]的[[同調論]]的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由[[塞繆爾·艾倫伯格]]和[[諾曼·斯廷羅德]]建立的{{tsl|en|singular homology|奇異同調}}。

同調論可以定義為符合艾倫伯格－斯廷羅德公理的[[函子]]列。這個公理化方法在1945年建立，可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果，例如{{tsl|en|Mayer–Vietoris sequence|邁耶－菲托里斯序列}}。

如果省略了其中的維數公理，那麼其餘的公理所定義的是{{tsl|en|extraordinary homology theory|廣義同調論}}。最早出現的廣義同調論是[[K-理論]]和{{tsl|en|cobordism theory|配邊理論}}。

==正式定義==
艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(''X'', ''A'')範疇到阿貝爾群範疇的函子列<math>H_n</math>，連同稱為'''邊界映射'''的[[自然變換]]<math>\partial : H_{i}(X, A) \to H_{i-1}(A)</math>。（在此''H''<sub>''i''&nbsp;−&nbsp;1</sub>(''A'')是''H''<sub>''i''&nbsp;−&nbsp;1</sub>(''A'',∅)的簡記。）這套公理是：
# [[恆同映射]]<math>\mathrm{id}:(X, A) \to (X,A)</math>在同調群中誘導的[[群同態|同態]]<math>H_n(\mathrm{id}):H_n(X,A) \to H_n(X,A)</math>是恆同同態。
# 設有空間偶的映射<math>f:(X, A) \rightarrow (Y,B)</math>，<math>g:(Y, B) \rightarrow (Z, C)</math>，那麼<math>H_n(g)\circ H_n(f) = H_n(g\circ f).</math>
# 設有空間偶的映射<math>f:(X, A) \rightarrow (Y,B)</math>，那麼<math>\partial \circ H_n(f) = H_{n-1}(f|_A) \circ \partial.</math>
# '''同倫'''：同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之，如果<math>g:(X, A) \rightarrow (Y,B)</math>[[同倫]]於<math>h:(X, A) \rightarrow (Y,B)</math>，那麼其誘導同態相同：
#:<math>H_n(g)=H_n(h):H_n(X,A) \to H_n(Y,B)</math> 對所有''n'' ≥ 0。
# '''切除'''：設(''X'', ''A'')是空間偶，''U''是''X''的子集，使得''U''的閉包包含在''A''的內部之中。那麼[[包含映射]]<math>i : (X-U, A-U) \to (X, A)</math>在同調群中誘導的是[[群同構|同構]]。
# '''維數'''：設''P''是單點空間，那麼<math>H_n(P) = 0</math> 對所有''n'' ≠ 0。
# '''正合'''：任何空間偶(''X'', ''A'')經由包含映射<math>i: A \to X</math>和<math>j: X \to (X, A)</math>，都在同調群中誘導出[[長正合序列]]：
#:<math> \cdots \to H_n(A) \to^{\!\!\!\!\!\! i_*} H_n(X) \to^{\!\!\!\!\!\! j_*} H_n (X,A) \to^{\!\!\!\!\!\!\partial_*} H_{n-1}(A) \to \cdots.</math>
[[約翰·米爾諾]]增加了一條公理：
: '''可加性'''：設<math>X = \coprod_{\alpha}{X_{\alpha}}</math>是拓撲空間族<math>X_{\alpha}</math>的[[不交併]]，那麼<math>H_n(X) \cong \bigoplus_{\alpha} H_n(X_{\alpha}).</math>

設''P''是單點空間，那麼<math>H_0(P)</math>稱為'''係數群'''。

==結果==
同調群的一些結果可以用公理推導出，例如[[同倫等價]]空間的同調群是同構的。

一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出，比如''n''-[[球面]]。因此可以推導出(''n''-1)-球面不是''n''-球的[[收縮]]。用這個結果可以給出[[布勞威爾不動點定理]]的一個證明。

==維數公理==
如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格－斯廷羅德公理，但維數公理除外，便稱為'''{{tsl|en|extraordinary homology theory|廣義同調論}}'''（對偶概念為'''廣義上同調論'''）。一些重要例子在1950年代發現，例如[[拓撲K-理論]]和{{tsl|en|cobordism theory|配邊理論}}，都是廣義上同調論，並有與之對偶的同調論。

==參看==
* {{tsl|en|Zig-zag lemma}}

==參考文獻==
* Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, ''Axiomatic approach to homology theory'', Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
* Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, ''Foundations of algebraic topology'', [[Princeton University Press]], Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
* {{tsl|en|Glen Bredon}}: ''Topology and Geometry'', 1993, ISBN 0-387-97926-3.
* {{cite book|title=''Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology''|author=James W. Vick|publisher=Springer-Verlag|edition=2nd edition|year=1994}}
{{DEFAULTSORT:A艾倫伯格－斯廷羅德公理}}
[[分類:同調論]]
[[分類:公理]]