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[[数学]]中，特别是[[代数拓扑]]中，'''艾伦伯格–麦克莱恩空间'''是具有单一非平凡[[同伦群]]的[[拓扑空间]]。

令''G''为群，''n''为正[[整数]]。[[连通空间|连通]]拓扑空间''X''的第''n''[[同伦群]]<math>\pi_n(X)</math>若[[群同构|同构]]于''G''、其他同伦群都[[平凡群|平凡]]，则称''X''是<math>K(G,n)</math>型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设''G''在<math>n > 1</math>时是[[阿贝尔群]]，则<math>K(G,n)</math>型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为<math>K(G,n)</math>指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个<math>K(G,n)</math>”或“<math>K(G,n)</math>的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于[[塞缪尔·艾伦伯格]]与[[桑德斯·麦克莱恩]]，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的[[拓扑空间]]，在[[同伦论]]中可视作通过[[波斯尼科夫塔]]中的[[纤维化]]构建CW复形的物件。这些空间在[[代数拓扑]]的很多方面都十分重要，如球面[[同伦群]]的计算、[[上同调运算]]的定义及与[[奇异上同调]]的紧密联系。
广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间
<math>\prod_{m}K(G_m,m)</math>的[[拓扑积]]的同伦类的空间。

==例子==
* [[单位圆]]<math>S^1</math>是<math>K(\Z,1)</math>。
* 无穷维[[复射影空间]]<math>\mathbb{CP}^{\infty}</math>是<math>K(\Z,2)</math>的模型。
* 无穷维[[实射影空间]]<math>\mathbb{RP}^{\infty}</math>是<math>K(\Z/2,1)</math>。
* ''k''个[[单位圆]]的[[楔和]]<math>\textstyle\bigvee_{i=1}^k S^1</math>是<math>K(F_k,1)</math>，其中<math>F_k</math>是''k''个生成子上的[[自由群]]。
* 3维球<math>S^3</math>中任何连通结或图的补是<math>K(G,1)</math>型，这种现象被称作“结的[[非球面空间|非球面性]]”，是[[赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯]]于1957年提出的定理。<ref>{{cite journal |last1=Papakyriakopoulos |first1=C. D. |title=On Dehn's lemma and the asphericity of knots |journal=Proceedings of the National Academy of Sciences |date=15 January 1957 |volume=43 |issue=1 |pages=169–172 |doi=10.1073/pnas.43.1.169 |pmid=16589993 |pmc=528404 |bibcode=1957PNAS...43..169P |doi-access=free }}</ref>
* [[紧空间|紧]]连通[[非正曲率|曲率非正]][[流形]]''M''是<math>K(\Gamma,1)</math>，其中<math>\Gamma=\pi_1(M)</math>是''M''的[[基本群]]。这是[[嘉当–阿达马定理]]的结果。
* 无限[[透镜空间]]<math> L(\infty, q)</math>由<math>S^\infty</math>对自由作用<math> (z \mapsto e^{2\pi i m/q}z) </math>（<math> m \in \Z/q </math>）的商给出，是<math>K(\mathbb{Z}/q,1)</math>。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体[[可收缩空间|可收缩]]来证明。<ref>{{Cite web|title=general topology - Unit sphere in $\mathbb{R}^\infty$ is contractible?|url=https://math.stackexchange.com/q/282268 |access-date=2020-09-01|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>注意这包括作为<math>K(\Z/2,1)</math>的<math>\mathbb{RP}^{\infty}</math>。
* 平面上''n''个点的[[构型空间]]是<math>K(P_n,1)</math>，其中<math>P_n</math>是''n''股上的纯[[辫群]]。
* 相应地，<math> \mathbb{R}^2 </math>的第''n''无序[[构型空间]]是<math>K(B_n,1)</math>，其中<math>B_n</math>表示''n''股[[辫群]]。<ref>Lucas Williams [https://arxiv.org/pdf/1911.11186.pdf "Configuration spaces for the working undergraduate"] {{Wayback|url=https://arxiv.org/pdf/1911.11186.pdf |date=20230307225734 }},''arXiv'' , November 5, 2019. Retrieved 2021-06-14</ref>
* ''n''球的无穷[[对称积]]<math> SP(S^n)</math>是<math>K(\mathbb{Z},n)</math>。更一般地，<math> SP(M(G,n)) </math>对所有[[摩尔空间]]<math> M(G,n) </math>是<math> K(G,n) </math>。

利用积<math>K(G,n) \times K(H,n)</math>是<math>K(G\times H,n)</math>的事实，可构造出更多基本例子，例如''n''维环面<math>\mathbb{T}^n</math>是<math> K(\mathbb{Z}^n, 1)</math>。

==关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注==
对<math> n = 1 </math>、任意[[群]]''G''，<math> K(G,1) </math>的构造与''G''的[[分类空间]]的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群''A''构造[[摩尔空间]]<math>M(A,n)</math>：取''n''个球的[[楔和|楔]]，每个球代表一个''A''的生成子，并通过上述楔和的<math> \pi_n(\bigvee S^n) </math>中相应映射附加''(n+1)''个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群<math>\pi_{i < n} (M(A,n)) </math>由构造是平凡的。现在通过附加大于<math> n + 1 </math>维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群<math>\pi_{i > n} (M(A,n)) </math>，并定义<math> K(A,n) </math>为包含此迭代的[[直极限]]。

另一个有用技巧是运用[[单纯群|单纯]][[阿贝尔群]]的几何实现。<ref>{{Cite web|title=gt.geometric topology - Explicit constructions of K(G,2)?|url=https://mathoverflow.net/questions/61546/explicit-constructions-of-kg-2|access-date=2020-10-28|website=MathOverflow|archive-date=2024-02-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20240207100015/https://mathoverflow.net/questions/61546/explicit-constructions-of-kg-2|dead-url=no}}</ref>这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

[[乔·彼得·梅]]的书<ref>{{cite book|last=May|first=J. Peter|url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maybook.pdf|title=A Concise Course in Algebraic Topology|publisher=[[University of Chicago Press]]|place=Chapter 16, section 5|author-link=J. Peter May|access-date=2024-02-07|archive-date=2018-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20180219180814/http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/maybook.pdf|dead-url=no}}</ref>从[[分类空间]]与[[通用丛]]角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价<math>K(G,n)\simeq\Omega K(G,n+1)</math>，因此有纤维化序列
:<math>K(G,n) \to * \to K(G,n+1)</math>.
注意这不是上纤维化序列：空间<math>K(G,n+1)</math>不是<math>K(G,n) \to *</math>的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从<math>K(G,n)</math>用[[勒雷谱序列]]研究<math>K(G,n+1)</math>的上同调，[[让-皮埃尔·塞尔]]在利用[[波斯尼科夫塔]]和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

==性质==
===映射与上同调的同伦类间的双射===
<math>K(G, n)</math>的一个重要性质是，对任何阿贝尔群''G''、任何基CW复形''X''，''X''到<math> K(G,n)</math>的基映射的基同伦类集<math>[X, K(G,n)]</math>，同空间''X''的第''n''[[奇异上同调]]群<math>H^n(X, G)</math>是自然双射。因此可以说<math>K(G,n)'s</math>是系数在''G''中的奇异上同调的[[表示空间]]。由于
:<math>\begin{array}{rcl}
H^n(K(G,n),G) &=& \operatorname{Hom}(H_n(K(G,n);\Z), G) \\
&=& \operatorname{Hom}(\pi_n(K(G,n)), G) \\
&=& \operatorname{Hom}(G,G),
\end{array}</math>
有一个区别元素<math>u \in H^n(K(G,n),G)</math>，对应幺元。上述双射由元素的拉回<math> f \mapsto f^*u </math>给出，这与[[范畴论]]中的[[米田引理]]很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献<ref>Xi Yin [http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/Site/Notes_files/AT.pdf "On Eilenberg-MacLanes Spaces"] {{Wayback|url=http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/Site/Notes_files/AT.pdf |date=20210929112440 }}, Retrieved 2021-06-14</ref>，另一个利用[[谱 (拓扑)|Omega谱]]与[[餘調#公理与广义上同调论|广义既约上同调]]关系的证明可见参考文献<ref>[[Allen Hatcher]] [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf "Algebraic Topology"] {{Wayback|url=https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf |date=20230323163020 }}, ''[[Cambridge University Press]]'', 2001. Retrieved 2021-06-14</ref>，主要思想也将在后面略述。

=== 闭路空间/Omega谱 ===
艾伦伯格–麦克莱恩空间的[[闭路空间]]还是艾伦伯格–麦克莱恩空间：<math>\Omega K(G,n) \cong K(G,n-1)</math>。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系：<math> [\Sigma X, Y] = [X,\Omega Y] </math>，使<math>[X,K(G,n)] \cong [X,\Omega^2K(G,n+2)] </math>有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射<math> [X, K(G,n)] \to H^n(X, G) </math>是群同构。

这个性质还意味着不同''n''的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成[[谱 (拓扑)|Omega谱]]，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过<math> X \mapsto h^n(X):= [X, K(G,n)] </math>定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论<math> h^* </math>（<math> h^n(S^0) = 0 </math>，<math> n \neq 0</math>），有自然同构<math> h^n(X) \cong \tilde{H}^n(X, h^0(S^0) </math>，其中<math> \tilde{H^*} </math>表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，[[布朗可表性定理]]指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

===与同调的关系===
对给定阿贝尔群''G''，有[[稳定同伦论|稳定同伦群]]
:<math> \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) \cong \pi_{q+n+1}^s(X \wedge \Sigma K(G,n)) \to \pi_{q+n+1}^s(X \wedge K(G,n+1)) </math>
上由映射<math> \Sigma K(G,n) \to K(G,n+1)</math>导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论
:<math>h_q(X) = \varinjlim _{n} \pi_{q+n}^s(X \wedge K(G,n)) </math>
由于<math> h_q(S^0) = \varinjlim \pi_{q+n}^s(K(G,n)) </math>（<math> q \neq 0</math>）为零，<math> h_* </math>与CW复形上系数在''G''中的既约奇异同调<math>\tilde{H}_*(\cdot,G) </math>一致。

=== 函子性 ===
从上同调的[[万有系数定理]]可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数''n''，若<math>a\colon G \to G'</math>是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

: <math>K(a,n) = \{[f]: f\colon K(G,n) \to K(G',n), H_n(f) = a\},</math>
满足<math>K(a \circ b,n) \supset K(a,n) \circ K(b,n) \text{ and } 1 \in K(1,n), </math>

其中<math>[f]</math>表示连续映射''f''、<math>S \circ T := \{s \circ t: s \in S, t \in T \}</math>的同伦类。

=== 与波斯尼科夫/怀特海塔的关系 ===
连通CW复形''X''都有[[波斯尼科夫塔]]，即空间的逆系：

:<math>\cdots \to X_3 \xrightarrow{p_3} X_2 \xrightarrow{p_2}  X_1 \simeq K(\pi_1(X), 1) </math>
使对每个''n''都有：
#有交换映射<math> X \to X_n </math>，导出<math> \pi_i </math>（<math> i \leq n</math>）上的同态；
#<math> \pi_i(X_n) = 0 </math>（<math> i > n </math>）；
#映射<math> X_n \xrightarrow{p_n} X_{n-1} </math>是具有纤维<math> K(\pi_n(X),n)</math>的纤维化。

对偶地，还有[[怀特海塔]]，是CW复形的序列：

:<math>\cdots \to X_3 \to X_2 \to X_1 \to X </math>
使对每个''n''都有：
# 映射<math> X_n \to X </math>导出<math> \pi_i </math>（<math> i > n </math>）上的同态；
# <math> X_n </math>是n连通的；
# 映射<math> X_n \to X_{n-1}</math>是具有纤维<math> K(\pi_n(X), n-1) </math>的纤维化。

在[[塞尔谱序列]]的帮助下，可计算出球面的高阶[[同伦群]]。例如，<math> \pi_4(S^3) </math>、<math> \pi_5(S^3) </math>用<math> S^3 </math>的怀特海塔，可见参考文献<ref>Xi Yin [http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/Site/Notes_files/AT.pdf "On Eilenberg-MacLanes Spaces"] {{Wayback|url=http://www.people.fas.harvard.edu/~xiyin/Site/Notes_files/AT.pdf |date=20210929112440 }}, Retrieved 2021-06-14</ref>；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的<math> \pi_{n+i}(S^n) \ i \leq 3 </math>可见参考文献。 <ref>Allen Hatcher [https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch5.pdf Spectral Sequences] {{Wayback|url=https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch5.pdf |date=20240318222846 }}, Retrieved 2021-04-25</ref>

=== 上同调运算 ===
对不变的自然数''m,n''、阿贝尔群''G,H'' ，存在所有[[上同调运算]]集<math>\Theta :H^m(\cdot,G) \to H^n(\cdot,H) </math>与<math> H^n(K(G,m),H) </math>之间的双射，定义为<math> \Theta \mapsto \Theta(\alpha) </math>（<math> \alpha \in H^m(K(G,m),G) </math>是[[基本类]]）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态<math> \operatorname{Hom}(G,H) </math>。这源于上同调的[[万有系数定理]]与<math> K(G,m) </math>的(n-1)连通性。

<math> G=H</math>是有限[[循环群]]时，上同调运算的一些有趣例子是[[斯廷罗德代数|斯廷罗德平方与幂]]。研究这些时，系数在<math> \Z /p </math>中的<math> K(\Z /p ,n) </math>的上同调变得非常重要，<ref>Cary Malkievich [https://web.archive.org/web/20170815173103/http://www.math.uiuc.edu/~cmalkiew/steenrod.pdf "The Steenrod algebra"], Retrieved 2021-06-14</ref>有关这些组别的详细列表，请参此处。<ref>{{Cite web |url=http://doc.rero.ch/record/482/files/Clement_these.pdf |title=Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers |access-date=2024-02-07 |archive-date=2023-04-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230422120620/https://doc.rero.ch/record/482/files/Clement_these.pdf |dead-url=no }}</ref>

=== 群（上）同调 ===
可以定义群''G''的系数在群''A''中的[[群上同调|（上）同调]]为艾伦伯格–麦克莱恩空间<math> K(G,1) </math>的奇异（上）同调，系数在''A''中。

=== 进一步应用 ===
上述闭路空间构造在[[弦论]]中用于得到[[弦群]]等等，如由[[短正合列]]
:<math>0\rightarrow K(\Z,2)\rightarrow \operatorname{String}(n)\rightarrow \operatorname{Spin}(n)\rightarrow 0</math>
产生的怀特海塔，其中<math>\text{String}(n)</math>是[[弦群]]，<math>\text{Spin}(n)</math>是[[旋量群]]。<math>K(\Z,2)</math>的相关性在于存在[[分类空间]]<math>B\Z</math>（且<math>K(\Z,2) \simeq BU(1)</math>）的同伦等价关系
:<math>K(\mathbb{Z},1) \simeq U(1) \simeq B\Z</math>
注意，由于复旋量群是群扩张
:<math>0\to K(\Z,1) \to \text{Spin}^\Complex(n) \to \text{Spin}(n) \to 0</math>,
弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间<math>K(\Z,2)</math>就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群<math>U(1)</math>的[[广群]]<math>\mathbf{B}U(1)</math>的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间<math>K(\Z,n)</math>都可以用来启动一个短正合列，可在[[拓扑群]]中去除同伦群<math>\pi_{n+1}</math>。

==另见==
*[[分类空间]]，<math> n = 1 </math>情形
*[[布朗可表性定理]]，关于表示空间
*[[摩尔空间]]，同调中的类似物

==注释==
{{reflist|group="note"}}
{{reflist}}

==参考文献==
=== 基础文章 ===
*{{citation|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=   Relations between homology and homotopy groups of spaces |journal= [[Annals of Mathematics]] |volume=  46  |series=(Second Series)|year=1945|issue=3|  pages=480–509|doi= 10.2307/1969165|jstor= 1969165|mr=0013312}}
* {{cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|title=Relations between homology and homotopy groups of spaces. II |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1950-05_51_3/page/514|journal= [[Annals of Mathematics]] |series=(Second Series)|volume=  51|issue=3  |year=1950|  pages=514–533|doi=10.2307/1969365|jstor= 1969365|mr=0035435}}
*{{Cite journal|first1=Samuel|last1= Eilenberg|author-link1=Samuel Eilenberg| first2=Saunders|last2= MacLane|author-link2=Saunders MacLane|year=1954|title=On the groups <math>H(\Pi,n)</math>. III. Operations and obstructions| url=https://www.jstor.org/stable/1969849|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=60|issue=3|pages=513–557|doi=10.2307/1969849|jstor= 1969849|mr=0065163}}

=== 嘉当研讨会与应用 ===
嘉当研讨会（Cartan seminar）包含很多余艾伦伯格-麦克莱恩空间的基本结果，包括其同调与上同调、计算球面同伦群的[[波斯尼科夫塔|应用]]等。

* http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ {{Wayback|url=http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ |date=20220425232321 }}

=== 计算整上同调环 ===
* [[arxiv:1312.5676|Derived functors of the divided power functors]]
* [http://doc.rero.ch/record/482/files/Clement_these.pdf Integral Cohomology of Finite Postnikov Towers] {{Wayback|url=http://doc.rero.ch/record/482/files/Clement_these.pdf |date=20230422120620 }}
* [https://mathoverflow.net/questions/24754/cohomology-of-the-eilenberg-maclane-spaces-kg-n (Co)homology of the Eilenberg-MacLane spaces K(G,n)] {{Wayback|url=https://mathoverflow.net/questions/24754/cohomology-of-the-eilenberg-maclane-spaces-kg-n |date=20240207100015 }}

=== 其他百科参考文献 ===
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Eilenberg-MacLane_space Encyclopedia of Mathematics] {{Wayback|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Eilenberg-MacLane_space |date=20231130051836 }}
*{{nlab|id=Eilenberg-Mac+Lane+space|title=Eilenberg-Mac Lane space}}

[[Category:同伦论]]