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[[Image:Sin x^-1 in range negative four fifths to four fifths.png|thumb|270px|<math>\sin{\frac{1}{x}}</math>函數基於色相環複變函數圖形的資料視覺化]]
[[File:Color map fs.png|thumb|270px|[[高斯平面]]上對應[[复数 (数学)|複數]]的色相環複變著色，上色方式是依據文字描述的第一種定義：零是[[黑色]]、-1為[[紅色]]、1是青色、[[無限大]]為白色]]
'''色相環複變函數圖形'''是一種[[複變函數|複變]][[函數圖形]]的呈現方式，是一種[[色度 (色彩学)|飽和度]]固定為最飽和，將[[色相]]表示函數值的[[輻角]]、[[明度]]表示函數值的[[絕對值]]來表達[[複變函數]]的[[定義域著色]]方法<ref>{{cite web| title = Color Graphs of Complex Functions | url = http://w.american.edu/cas/mathstat/lcrone/ComplexPlot.html | archiveurl = https://web.archive.org/web/20120511021419/http://w.american.edu/cas/mathstat/lcrone/ComplexPlot.html | publisher = [[美利坚大学]] | accessdate = 2017-03-17 | archivedate =2012-05-11}}</ref>，這種方法又稱為'''[[色相環]]法'''（{{lang|en|color wheel method}}）<ref>{{cite web| title=Color wheel method | url=http://wmi.math.u-szeged.hu/~kovzol/rtzme/doku.php?id=color_wheel_method | archiveurl = https://web.archive.org/web/20070101081320/http://wmi.math.u-szeged.hu/~kovzol/rtzme/doku.php?id=color_wheel_method | publisher = [[塞格德大學]][[數學系]] | date=2005-10-22 | accessdate = 2017-03-17 | archivedate = 2007-01-01}}</ref>。

== 歷史 ==
使用色相環法的[[定義域著色]]早在1980年代末就已被拉里·柯榮（{{lang-en|Larry Crone}}）和漢斯·隆達馬克（Hans Lundmark）首先使用。但與之相關的其他的複變函數繪圖直到1998年左右時由法蘭克·菲莉絲（{{lang-en|Frank Farris}}）統整併統稱為[[定義域著色]]<ref>{{cite web |author = Frank A. Farris |url = http://www.maa.org/pubs/amm_complements/complex.html |title = Visualizing complex-valued functions in the plane |access-date = 2017-03-17 |archive-url = https://web.archive.org/web/20121230181642/http://www.maa.org/pubs/amm_complements/complex.html |archive-date = 2012-12-30 |dead-url = no }}</ref>。

== 方法 ==
[[File:Sin1perz.png|thumb|270px|函數<math>f(z) = \sin(\frac{1}{z})</math>的在第二種定義下的色相環複變函數圖形。 黑色區塊有較大的絕對值。這個函數在<math>z = 0</math>時存在[[本质奇点]]。]]
[[File:Complex Graph Natural Log.png|thumbnail|270px|對數函數在第三種定義的圖像。]]
這種函數圖形表示方有有兩種：
* 一種[[原點]]是[[黑色]]、-1為[[紅色]]、1是[[青色]]、[[無限大]]為[[白色]]：
::<math>\begin{align}
H & = \pi + \arg z, \\
L & = \left(1-2^{- \left| z \right|}\right) \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}</math>
* 另一種原點是白色、1為紅色、-1是青色、無限大為黑色：
::<math>\begin{align}
H & = \arg z, \\
L & = 2^{- \left| z \right|} \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}</math>
* 另外也有類似第一種的上色方式：原點是黑色、1為紅色、-1是青色、無限大為白色：
::<math>\begin{align}
H & = \arg z, \\
L & = \left(1-2^{- \left| z \right|}\right) \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}</math>
更確切地說，複數的[[輻角]]（角度）以色相來表示，而模量（[[絕對值]]）以HLS色彩模型（色調、亮度、飽和度）中的亮度來表示；對於給定的（H, L）數對，在這個模型中選擇最大[[飽和度]]值來呈現指定的複數。這幾種上色方式，最鮮豔的顏色以旋轉的方式出現在複數[[高斯平面]]的單位圓上，根據面兩種定義，1的六個六次方根（從1開始、[[逆時針]]）顏色分別為[[紅色]]、黃色、綠色、青藍、藍色和洋紅。此外，在這種配置上，兩個非常接近的複數其亮度值也會非常接近，若其輻角相同，則絕對值較大者，根據第一和最後一種定義，其顏色會較淺；根據第二種定義，其顏色會較深，反之亦然。

然而，HSL色彩空間在視覺上並不均勻，而導致在黃色、青色和品紅色表達的複數出現亮度差異的條紋，即使其絕對值與紅色、綠色和藍色相同條紋仍明顯可見，在單位圓上（<math>L = \frac{1}{2}</math>）附近也可以見到一圈明顯的暈圈。[[CIELAB|Lab]]等色彩空間更加接近人類感知，可以校正HSL的不均勻問題，使圖像視覺上更準確、更加柔和<ref group="註">使用Lab色彩空間的樣例：[http://flickr.com/photos/56868697@N00/8563470194/ example] {{Wayback|url=http://flickr.com/photos/56868697@N00/8563470194/ |date=20170102114301 }}</ref>。

針對色相環複變函數圖形，為了使圖像具可比較性，[[數學函數數位圖書館]](The Digital Library of Mathematical Functions, DLMF)對此定義了一套標準的色彩配置方式<ref name="dlmf.nist.gov">
{{cite web
 |url          = http://dlmf.nist.gov/help/vrml/aboutcolor
 |script-title = en:Digital Library of Mathematical Functions: Continuous Phase Mapping
 |accessdate   = 2016-01-06
 |title        = 存档副本
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160228031310/http://dlmf.nist.gov/help/vrml/aboutcolor#S2
 |archive-date = 2016-02-28
}}
</ref>。

=== 複數色彩空間 ===
複數色彩空間是這種定義域著色方法的色彩空間，每個[[复数 (数学)|複數]]皆有對應唯一一種顏色，但是由於其定義上飽和度為定值，因此在這個色彩空間中並非所有色彩都能對應到一個複數。但這種色彩空間和HSL色彩空間一樣在視覺上有不均勻的缺點，因此[[數位圖書館]]有一套將標準色相環進行微調，其將單位為[[弧度]]的[[色相]]值以<math>\left[ 0,2\pi\right) \to \left[ 0,4\right)</math>映射到q，然後以公式換算<ref name="dlmf.nist.gov"/>：
:<math>\mbox{hue}(q) = 60^{\circ}\times
\begin{cases} 
q,  & \mbox{if }0 \le q < 1 \\
2q-1,  & \mbox{if }1 \le q < 2 \\
q+1,  & \mbox{if }2 \le q < 3 \\
2(q-1), & \mbox{if }3 \le q < 4
\end{cases}</math>

== 其他上色方式 ==
[[File:F of z equal z in abs equal 2 plot.png|thumbnail|270px|高斯平面上對應複數的色相環在此種定義下的複變著色，實部與虛部範圍皆為-2到2。]]
亦有另外一種依據色相上色的定義域著色方法，其依據[[HSL和HSV色彩空间|HSV]]上色，但是飽和度不取定值，明度與飽和度取決於絕對值的對數值，在表達複數上比前者僅用亮度變化表示複數的方式能得到更多反差，但由於仍屬於[[HSL和HSV色彩空間|色相環色彩空間]]，因此仍有視覺不平均問題。

以[[絕對值]]的明度或亮度以對數或指數倒數來表示複變函數圖形分別有不同的用途，例如對數成長較慢，因此當值域數字差異很大時適合使用絕對值以對數值來上色的版本，而指數倒數則適用於值域數字相當小的複變函數，例如絕對值在零與一之間震盪的函數。

這種明度與飽和度取決於絕對值的對數值一般會定義為<ref>{{Cite web|url=http://www.jedsoft.org/fun/complex/fztopng.html|title=Complex Domain Coloring using fztopng|website=jedsoft.org|accessdate=2017-05-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20170107103657/http://www.jedsoft.org/fun/complex/fztopng.html|archive-date=2017-01-07|dead-url=no}}</ref>：
:<math>r = \ln{(a+\left| z \right|)}</math>
:<math>\mbox{H} = \arg{(z)}</math>
:<math>\mbox{S} = \frac{b+\sin{(2\pi r)}}{2}</math>
:<math>\mbox{V} = \frac{c+\cos{(2\pi r)}}{2}</math>
其中r為絕對值取對數的結果，a、b、c是調整結果用的係數。
<gallery>
Image:Complex_coloring.jpg|<math>f(x) = x</math>
Image:Complex sin.jpg|[[正弦]]函數
Image:Complex tan.jpg|[[正切]]函數
Image:Complex gamma.jpg|[[伽瑪函數]]
Image:Complex log.jpg|[[自然對數]]
Image:Complex sqrt leaf1.jpg|[[平方根]]
Image:Sin x^-1 in range negative four fifths to four fifths.png|<math>\sin{\frac{1}{x}}</math>
Image:Sin x^-1 in range negative one tenths to one tenths.png|<math>\sin{\frac{1}{x}}</math>
</gallery>

== 參見 ==
* [[定義域著色]]
* [[複變函數]]
* [[函數圖形]]

== 註解 ==
{{refbegin|2}}
{{reflist|group="註"}}
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== 參考文獻 ==
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{{reflist}}
{{refend}}

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20120511021419/http://w.american.edu/cas/mathstat/lcrone/ComplexPlot.html Color Graphs of Complex Functions]
* [http://rtzme.sf.net Real-Time Zooming Math Engine] {{Wayback|url=http://rtzme.sf.net/ |date=20080709051831 }}
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/44375 Phase Plots (MATLAB)]
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/45464 Complex Function Explorer (MATLAB)]

{{DEFAULTSORT:Color wheel graphs of complex functions}}

[[Category:复分析]]