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{{NoteTA
|G1=Physics
|G2=Electronics
}}
[[Image:Prism-rainbow.svg|frame|right|光在[[稜鏡]]的[[折射]]是由于[[光的色散|色散]]。]]
在[[物理科学]]和[[電機工程學]]中，'''色散关系'''描述波在介质中传播的[[#色散|色散]]现象的性质。色散关系将波的[[波长]]或[[波數]]与其[[頻率 (物理學)|頻率]]建立了联系。由这组关系，波的[[相速度]]和[[群速度]]有了方便的确定介质中[[折射率]]的表达式。[[克拉莫-克若尼關係式]]可以描述[[波的传播]]、[[衰减]]的频率依赖性，這關係比與幾何相關和與材料相關的色散关系更具一般性。

色散的原因可能是几何边界条件（[[波导]]、浅水）或是波与传输介质间的相互作用。[[基本粒子]]（被认为是[[物質波]]）即使在没有集合约束和其他介质存在下也会有非平凡的色散关系。

在存在色散的情况下，波速不再唯一定义，从而产生了[[相速度]]和[[群速度]]的区别。

== 色散 ==
{{main|光學色散|水波色散|聲學色散}}
當不同波長的平面波表現出不同的傳播速度時，色散會發生，如此造成混合各種波長的[[波包]]漸漸地在空間中擴展開來。平面波的速率''v''為波長<math>\lambda</math>的函數：
:<math>v = v(\lambda) \,</math>。

波速、波長、頻率''f''之間具有恆等式：
:<math>v(\lambda) = \lambda\ f(\lambda) \,</math>。

函數''f''(''λ'')指出了該介質中的色散關係。色散關係更常用[[角频率]]<math>\omega=2\pi f</math>與[[波數]]<math>k=2 \pi /\lambda</math>來表示。上述式子可改寫為
:<math>\omega(k)= v(k)\ k \,</math>。

在此''&omega;''成為''k''的函數。使用ω(''k'')來描述色散關係已經成為一種標準寫法，因為[[相速度]] ω/''k'' 與[[群速度]] ∂ω/∂''k'' 可以輕鬆地從這樣寫法的色散關係中求得。

因此所關注的平面波可寫為如下數學式：
:<math>A(x, t) = A_0e^{2 \pi i \frac{x - v t}{\lambda}}= A_0e^{i (k x - \omega t)}</math>，

其中
:''A''是波的[[振幅]]，
:''A''<sub>0</sub> = ''A''(0,0)，
:''x''是波傳遞方向上的任一特定位置，以及
:''t''是描述波的任一特定時間。

== 真空中的平面波 ==
真空中的平面波是波傳遞最簡單的例子：無幾何上的限制，無傳導介質的交互作用。

===電磁波===
對真空中的[[电磁波]]而言，角頻率與波數呈正比：
:<math>\omega = c k\,</math>。

這是「線性」的色散關係。在此情形下，相速度與群速度乃是相同的：
:<math> v = \frac{\omega}{k} = \frac{d\omega}{d k} = c</math>；

兩者皆為''c''，真空中的[[光速]]，為與頻率無關的常數。

===德布羅意色散關係===
{{see also|四維動量}}
{{see also|狹義相對論中的質量}}
[[Image:KEvsMOMENTUM.png|thumb|350px|right|[[自由空間]]中，日常生活常見物體其[[動能]]與[[動量]]之間的色散關係圖。]]

粒子的[[總能量]]、[[動量]]與[[質量]]透過如下[[相對論]]關係連結：
: <math>E^2 = (mc^2)^2+(pc)^2\,</math> &nbsp;<ref>{{cite book| last=Taylor| title=Classical Mechanics| year=2005| url=https://archive.org/details/classicalmechani0000tayl|publisher=University Science Books|page= 652| isbn=1-891389-22-X}}</ref>
其中<math>m</math>是[[狹義相對論中的質量|靜質量]]。

當靜質量''m''為零時，比如[[光子]]的例子：
: <math> E = p c\,</math>。

又靜質量不為零的粒子，當其接近光速時，''pc''項遠大於''mc''<sup>2</sup>項，因此關係式可趨近於''E'' = ''pc''。其在非相對論極限，也就是速度遠小於光速''c''的情形，可趨近於如下關係式：
:<math>E = m c^2 + \frac{p^2}{2m}</math>

此情形下，<math>m c^2</math>是常數，而<math>p^2/2 m</math>是常見的[[動能]]，可以[[動量]]<math> p = m v</math>來寫出關係式。

從近光速的例子過渡到低速度極限，可看到''E''與''p''的關係是從''p''轉成''p''<sup>2</sup>，在垂直軸跟水平軸皆取[[對數]]log的色散關係圖中可看出[[斜率]]的改變。

基本粒子、原子核、原子，甚至是分子，皆有[[物質波]]的波動表現。根據描述物質波的「德布羅意關係」，能量''E''與角頻率''ω''之間以及動量''p''與波數''k''之間皆為正比關係，比值為[[普朗克常数|約化普朗克常數]]ħ：
: <math>E=\hbar\omega,\quad p=\hbar k</math>。

相應地，角頻率與波數之間也可透過色散關係連結。在非相對論極限（低速度極限的[[牛頓力學]]）條件下，利用能量（動能）與動量的關係式：
:<math>E= \frac{p^2}{2m}</math>
此處省去常數''mc''<sup>2</sup>的效應。等式左右分別代入德布羅意關係，可得色散關係：
: <math>\omega=\frac{\hbar k^2}{2m}</math>。

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!動畫：電子的相速度與群速度
|-
|[[Image:deBroglie3.gif|frame|center]]
此動畫描繪了三顆（慢速度）自由電子以德布羅意相速度與群速度行經了寬度為0.4[[埃格斯特朗|Å]]的區域。每單位質量的動量，稱為[[固有速度]]。中間電子的固有速度為光速''c''，其群速度則為0.707 ''c''；上方電子則有中間電子的兩倍動量，下方電子則有中間電子的一半動量。注意到：當動量增加時，相速度下降到''c''，而群速度增加到''c''，而波包與相位峰值兩者以接近''c''的速度一同移動；在此同時，波長的下降則無下限值。實驗室中，這類高能電子的橫向與縱向的同調寬度（波包大小）可比此處粒子大上好幾個數量級。
|}

== 頻率與波數的關係 ==
當討論到介質的折射性質而不是吸收性質，亦即關注焦點為[[折射率]]的[[實部]]，則常會提及「色散關係」—角頻率與波數的函數關係。在[[粒子]]的情形，改由相對應的能量與動量的函數關係來描述。

===波動與光學===
{{See also|光學色散}}
「色散關係」一詞源自於[[光學]]。讓光穿過[[折射率]]不為常數的[[介質]]則有辦法使得光速與波長相依；另外的方法是使用非均勻介質中的光，比如[[波导]]。在此情形下，波形會隨著時間擴展開來，窄脈衝波會變成較寬的脈衝波。在這些材料中，<math>\frac{\partial \omega}{\partial k}</math>為[[群速度]]<ref>{{cite book| author=F. A. Jenkins and H. E. White |date=1957|title=Fundamentals of optics| url=https://archive.org/details/fundamentalsofop00jenk |publisher=McGraw-Hill|location=New York| page=[https://archive.org/details/fundamentalsofop00jenk/page/223 223]| isbn=0-07-032330-5}}</ref>，對應到脈衝[[包絡線]]峰值的傳遞速度，並與[[相速度]]<math>\frac{\omega}{k}</math>不同。<ref>{{cite book|author= R. A. Serway, C. J. Moses and C. A. Moyer |year=1989| title=Modern Physics|url= https://archive.org/details/modernphysics0000serw | publisher=Saunders|location=Philadelphia|page= [https://archive.org/details/modernphysics0000serw/page/118 118]|isbn= 0-534-49340-8}}</ref>

===深水波===
{{See also|水波色散|Airy wave theory}}
[[Image:Wave group.gif|frame|right|深水的表面[[重力波 (流體力學)|重力波]]的頻率色散。紅點以相速度移動，而綠點以群速度移動。在深水的情形，相速度為群速度兩倍。一同出發的紅、綠點，當紅點走完圖片寬度的全程時，綠點方走一半。]]

深[[海浪|水波]]的色散關係常寫為
:<math>\omega = \sqrt{g k}</math>，

其中''g''是[[重力]]造成的加速度。深水的常見定義為水深大於波長之半<ref>{{cite book | title=Water wave mechanics for engineers and scientists | author=R. G. Dean and R. A. Dalrymple | year=1991 | series=Advanced Series on Ocean Engineering | volume=2 | publisher=World Scientific, Singapore | isbn=978-981-02-0420-4 }} See page 64–66.</ref>。在此情形下，相速度為
:<math>v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{g}{k}}</math>，

而群速度為
:<math>v_g = \frac{d{\omega}}{dk} = \frac{1}{2} v_p.</math>

===弦波===
{{See|振動弦}}
[[Image:Two-frequency beats of a non-dispersive transverse wave (animated).gif|frame|right|非色散[[橫波]]的雙頻率[[拍頻]]。既然此波為非色散，則相速度（紅點行進速度）等於群速度（綠點行進速度）。]]

對一條理想弦而言，色散關係可寫為
:<math>\omega = k \sqrt{\frac{T}{\mu}}</math>，
其中''T''為弦的[[張力]]，''μ''為弦每單位長度的質量。

如同真空中的電磁波，理想弦為非色散介質，其相速度與群速度相等，並且與振動頻率無關。

至於非理想弦則需考量到[[硬度]]的影響，色散關係變為
:<math>\omega^{2} = \frac{T}{\mu}k^{2} + \alpha k^{4}</math>，
其中<math>\alpha</math>是與弦有關的常數。

===固態物理===
在[[固態物理]]領域，電子的色散關係佔有重要的角色。晶體的週期性意味著：對一給定的動量存在有多種可能的[[费米面|能階]]，而有些則是不論什麼樣的動量都不可能會具有的能量。所有可能的能量與動量的組合即為一物質的[[能带结构]]。能帶結構的性質定義了一物質是[[絕緣體]]、[[半导体]]，抑或是[[導體]]。

===聲子===
[[聲子]]之於聲波一如光子之於光波：其為攜帶波動能量的量子。聲子的色散關係也是重要且非平凡的。許多系統都顯示出聲子存在於兩個分離的能帶。聲子尚可分為光學聲子支與聲學聲子支。

===電子顯微術===
關於[[穿透式電子顯微鏡]]中的高能電子（例如200 keV），收斂束[[電子繞射]]（Convergent beam electron diffraction, CBED） 型態在高階{{le|勞厄區|Laue zone}}（higher order Laue zone, HOLZ）譜線的能量相依性，允許研究者能對晶體三維[[布里渊区|色散表面]]的橫斷面做直接「成像」<ref>{{cite journal| author=P. M. Jones, G. M. Rackham and J. W. Steeds | year=1977|title= Higher order Laue zone effects in electron diffraction and their use in lattice parameter determination| journal=Proceedings of the Royal Society| volume=A 354
| page=197}}</ref>。這種{{le|繞射的動態理論|Dynamical theory of diffraction|動態效應}}可用於晶格參數的準確測量、電子束能量，近期更應用在電子業上。

== 歷史 ==
[[艾萨克·牛顿]]研究過[[稜鏡]]的折射現象。然而牛頓卻沒有認出色散關係與不同材料的相關性；假使有認出，他則可能發明出[[消色差透鏡]]。<ref>Westphal, Never at rest cited from memory. Quite a funny anecdote, worth looking up: Newton dismissed reports of refraction indices at variance from his own because the author was a Jesuit.</ref>

水波的色散關係是由[[皮埃尔-西蒙·拉普拉斯]]於1776年研究得到。<ref>{{cite journal | author= A.D.D. Craik | year= 2004 | title= The origins of water wave theory | journal= Annual Review of Fluid Mechanics | volume= 36 | pages= 1–28 | doi=10.1146/annurev.fluid.36.050802.122118 |bibcode = 2004AnRFM..36....1C }}</ref>

在幾篇舉足輕重的論文中，色散關係與各種波及粒子{{le|散射理論|Scattering theory}}中的[[因果律]]被連繫了起來，使得[[克拉莫-克若尼關係式]]（1926年－1927年間）的通則變得重要。<ref>{{cite journal | doi =  10.1103/PhysRev.104.1760 | author =  John S. Toll | year=1956|title=Causality and the dispersion relation: Logical foundations| url =  https://archive.org/details/sim_physical-review_1956-12-15_104_6/page/n266 |journal =Phys. Rev.| volume=104| pages=1760–1770|bibcode = 1956PhRv..104.1760T | issue =  6 }}</ref>

==参见==
*[[橢圓偏振技術]]
*{{le|超短脉冲|Ultrashort pulse}}

==参考文献==
{{reflist}}

==外部链接==
*[https://web.archive.org/web/20160303182803/http://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/hrem/publications/2005/conference/2005-davos-cbed.pdf Poster on CBED simulations] to help visualize dispersion surfaces, by Andrey Chuvilin and Ute Kaiser
*[https://web.archive.org/web/20150404213712/http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Angular+frequency+%28De+Broglie+dispersion+relation+in+nonrelativistic+limit%29 Angular frequency calculator]

{{DEFAULTSORT:色散关系}}
[[Category:基本物理概念]]