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在數學中，'''良序定理'''（{{lang-en|Well-ordering theorem}}），或稱 Zermelo 定理，表示「所有[[集合 (数学)|集合]]都可以被[[良序|良排序]]」。一集合 <math>X</math> 被一個[[全序关系|嚴格全序]]所''良排序''，如若對任意 <math>X</math> 之非空子集，在該序關係下均蘊含一個[[最大與最小元|最大元]]。所有與[[選擇公理]]等價之命題，良序定理同 [[佐恩引理|Zorn 引理]] 乃最重要的兩個陳述。該定理相當重要，[[超限歸納法]]藉由該定理方可作用于任意集合。

== 歷史 ==
[[康托尔|Cantor]] 认为良序定理是“思维的基本原理”。但是多数数学家发现，找到如实数集合 <math>\mathbb{R}</math> 这样的良序集合並非那麽容易。在1904年，{{le|朱利叶斯·科尼格|Julius König|Gyula Kőnig}} 声称已经证明了这种良序不能存在。几周之后，[[費利克斯·豪斯多夫|Felix Hausdorff]] 在他的证明中发现了一个错误。在此之後，[[恩斯特·策梅洛|Ernst Zermelo]] 引入了 “無可非議” 的[[选择公理]]，以证明良序定理<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA23|title=Handbook of Mathematics|last=Thierry|last2=Vialar|publisher=Springer|location=Norderstedt|isbn=978-2-95-519901-5|pages=23|access-date=2024-11-03|archive-date=2023-05-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20230516030502/https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA23|dead-url=no}}</ref>。事實上在[[一階邏輯]]下，良序定理等价于选择公理，其中一个和 [[策梅洛-弗兰克尔集合论|Zermelo-Frankel 集合論]]一起即可证明另一个；在二階邏輯下良序定理略強於選擇公理。

良序定理可給出似乎是悖论的推论，比如 [[巴拿赫-塔斯基悖论|Banach-Tarski 悖论]]。

關於選擇公理、Zorn 引理、良序定理，下面這句玩笑話在某種程度上説明了其直覺上之聯係：

{{Blockquote|text=「選擇公理顯然爲真，而良序原理顯然為假，那誰來說説 Zorn 引理？」<ref>{{Citation|last=Krantz|first=Steven G.|chapter=The Axiom of Choice|date=2002|pages=121–126|editor-last=Krantz|editor-first=Steven G.|publisher=Birkhäuser Boston|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-0115-1_9|isbn=9781461201151|title=Handbook of Logic and Proof Techniques for Computer Science}}</ref>|source=}}

== 從選擇公理證明良序定理 ==
證明如下。<ref>{{Cite book|title=Set Theory (Third Millennium Edition)|last=Jech|first=Thomas|publisher=[[Springer Publishing|Springer]]|year=2002|isbn=978-3-540-44085-7|pages=48}}</ref>
{{Blockquote|text=設有欲良排序之任意集合 <math> A </math>，令 <math> f </math> 為 <math> A </math> 非空子集族的選擇函數。對任意[[序數]] <math>\alpha</math>，定義 <math> A </math> 中的元 <math> a_{\alpha} </math> 為 <math> a_{\alpha} = f\left(A\backslash\left\{a_{\xi}\colon\xi<\alpha\right\}\right) </math> 當 <math> A\backslash\left\{a_\xi\colon\xi<\alpha\right\} </math> 非空，否則使 <math> a_{\alpha} </math> 未定義。此時，<math> a_{\alpha} </math> 選擇自 <math> A</math> 之元素所構成的集合，而尚未被排序（或者因爲 <math>A</math> 已然完全枚舉而未被定義）。接下來，定義 <math> A </math> 上的序關係 <math> < </math> 以 <math> a_{\alpha} < a_{\beta} </math> 當且僅當 <math> \alpha<\beta</math>（在序數間通常的良序下），此即所需之 <math> A </math> 上的良序，序類型 <math>\sup\left\{\alpha\colon a_\alpha\mbox{ is defined}\right\}</math>。}}

== 從良序定理證明選擇公理 ==
證明如下。
{{Blockquote|text=為構建非空集之集族 <math> E </math> 上之選擇函數，對該集族取并為 <math> X=\bigcup_{A\in E}A</math>。<math> X</math> 存在良序；設該序關係為 <math>R</math>。對每個 <math> E </math> 中的元 <math> S </math>，規定選擇函數映之于 <math> S </math> 中在序關係 <math> R </math> 下的最大元。這樣就得到了所需的選擇函數。}}
證明中，一個必不可少的點在於，證明僅涉及唯一一個任意選擇，即 <math>R</math>；分別于 <math>E</math> 的每個元 <math>S</math> 應用良序定理并不一定可行，因爲良序定理僅聲明了良序之存在性，而為每個 <math>S</math> 賦予良序將要求簡單地對每個 <math>S</math> 選擇出一個元那麽多的選擇。特別地，如果 <math>E</math> 擁有不可數那麽多的集合，不借由選擇公理，進行不可數次的選擇在 ZF 集合論下不被允許。

==参见==
*[[良序關係]]
*[[选择公理]]
*[[佐恩引理]]

[[Category:选择公理]]
[[Category:数学定理|L]]

[[he:עקרון הסדר הטוב]]